Содержание лекции. Лекция 1. Особенности процессов в нелинейных системах

ПОНЯТИЕ О НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Лекция 1. Особенности процессов в нелинейных системах

План лекции

1. Понятие нелинейной системы

2. Неединственность положения равновесия

3. Конечная длительность процессов

4. Ограниченность уровней переменных

5. Автоколебания

6. Зависимость характера движений

от начальных условий и уровней воздействий

Содержание лекции

Расчет нелинейных систем управления значительно сложнее, чем линейных. Это объясняется большим разнообразием движений, описываемых нелинейными уравнениями. Переход от линейных моделей к нелинейным, т.е. их усложнение ― мера вынужденная. Необходимость расширения и углубления знаний о поведении систем управления в сторону анализа и синтеза нелинейных систем должна быть обоснована.

Напомним, что решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(1.1)

представляется в виде суммы

, (1.2)

где ― частное решение неоднородного уравнения (1.1), описывающее вынужденное движение;

(1.3)

― общее решение соответствующего однородного уравнения, описывающее свободное движение при начальных условиях: , .

Выражение (1.3) записано для случая простых корней характеристического полинома

. (1.4)

Относительная простота анализа линейных моделей объясняется возможностью раздельного анализа вынужденных и свободных движений, а также тем, что известна форма решения (1.3). Построение решения сводится к алгебраическим задачам вычисления корней характеристического полинома и решения системы линейных уравнений относительно коэффициентов C_i.

Вместе с тем разнообразия движений, описываемых линейными уравнениями, может оказаться недостаточным для анализа нелинейных систем. Рассмотрим некоторые из наиболее существенных отличий между процессами в линейной и нелинейной моделях систем автоматического управления.

Неединственность положения равновесия. Линейная система имеет единственное положение равновесия. Например, выходная переменная системы, описываемой уравнением (1.3), при постоянном воздействии f принимает единственное значение, равное

.

Если система находится не на границе устойчивости, то при любых начальных условиях движения асимптотически затухают к положению равновесия (система устойчива в целом) или расходятся (система не устойчива).

В качестве примера представим себе следящую систему управления, датчик рассогласования и электродвигатель привода которой имеют зоны нечувствительности. Если рассогласование мало, то напряжение на входе двигателя по модулю меньше напряжения трогания и двигатель не вращается. Положения равновесия системы относительно переменной входа двигателя образуют отрезок, то есть множество значений выходной переменной (положения).

Конечная длительность процессов. Если линейная система устойчива, т.е. корни p_i характеристического полинома (1.4) имеют отрицательные действительные части, то соответствующие экспоненты в решении (1.3) затухают в бесконечности. Реально же длительность процессов управления конечна (кривая 1 на рис. 1.1), чему способствуют зоны нечувствительности элементов, сухое трение и люфты (зазоры) кинематических сочленений.

Рис. 1.1. Конечная длительность процессов

Ограниченность уровней переменных. Если линейная система неустойчива, то значения переменных неограниченно растут. Реально уровни переменных всегда ограничены энергетическими, материальными, прочностными ресурсами. На рис. 1.2 непрерывными линиями показаны экспоненциально расходящиеся процессы в линейных системах первого (рис. 1.2, а) и второго (рис. 1.2, б) порядков. Штриховые кривые соответствуют реальным процессам.

Рис. 1.2. Ограниченность уровней переменных

Автоколебания - периодические движения за счет внутренних свойств системы при отсутствии внешних колебательных воздействий. В линейных системах периодические движения гармонической формы соответствуют колебательной границе устойчивости. Амплитуды этих колебаний зависят от начальных условий. При самом незначительном изменении параметров системы колебания превращаются в затухающие или расходящиеся.

Автоколебания имеют относительно стабильную амплитуду и частоту, которые восстанавливаются после снятия возмущений. На рис. 1.2, б штриховая линия соответствует автоколебаниям в системе с неустойчивым положением равновесия.

Зависимость характера движений от начальных условий и уровней воздействий. В реальных системах не выполняется принцип суперпозиции - при сложении воздействий реакция не равна сумме реакций на отдельные воздействия. На рис. 1.3 показаны графики процессов в одной и той же динамической системе (физический маятник) в зависимости от начальных условий.

Рис. 1.3. Зависимость процессов от начальных условий

Примеры явлений, не объясняемых теорией линейных систем, можно продолжить.

Нелинейные математические модели, используемые для анализа систем управления, появляются вследствие учета естественных (сопутствующих) эффектов, присущих объекту или элементам системы управления и обусловленных нелинейным характером законов природы, которым подчиняются исследуемые явления. Нелинейности могут вводиться и специально с целью компенсации нежелательных эффектов от естественных нелинейностей или для придания системе управления особых свойств, которые принципиально недостижимы линейными средствами. Так, именно нелинейные алгоритмы управления могут обеспечить максимальное быстродействие процессов при наличии естественных ограничений на уровни управляющих воздействий; нелинейности обязательно вводятся при создании генераторов колебаний и т.д. В ряде систем управления техническими объектами нелинейные, в частности, релейные регулирующие устройства оказываются наиболее простыми, дешевыми и надежными.

Контрольные вопросы для самоподготовки

1. Какая система автоматического управления считается нелинейной?

2. Почему линейную систему анализировать математически проще, чем нелинейную?

3. Как определяется «принцип суперпозиции»?

4. Какие два вида устойчивого состояния имеет нелинейная система?

5. Какие 3 вида устойчивости имеет нелинейная система управления?

6. Что значит система устойчивости «в целом»?