Рассмотрим сходящийся числовой ряд
(23)
Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈ Sn. Точность этого равенства возрастает с увеличением n.
Определение 7. Если числовой ряд сходится, то разность Rn = S - Sn называется n -м остатком ряда.
Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:
Rn = un+1+un+2+….
Заметим, что Rn= (S-Sn)=S-S=0.
Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна | Rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие | Rn|<E. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся.
Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)
Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.
Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n -й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤|un+1 |. Теорема доказана.
|
|
Пример. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда Очевидно, ряд сходится по признакуЛейбница. u1 = =1; u2 = ≈ ≈0,166; u3 = ≈0,008<0,01. Поэтому S ≈1-0,166≈0,84.
23. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда. Использование признаков сходимости положительных рядов для исследования сходимости знакопеременных рядов.