Задачи гидромеханики в бурении

§ 1. БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ ПРОМЫВКЕ И ЦЕМЕНТИРОВАНИИ СКВАЖИН

Основные задачи гидроди­намики в бурении основаны на общих уравнениях и задачах гидромеханики, в первую очередь на уравнениях состоя­ния идеальных и реальных жидкостей, которыми чаще всего пользуются при расчетах.

При промывке и цементировании скважин простейшими типовыми задачами гидромеханики, допускающими аналитическое решение, являются задачи о течении жидкости в плоской щели (между двумя параллельными бесконечными пластинками), в круглой трубе и в кольцевом пространстве между двумя соосными цилиндрами, если исходить из следующих условий:

1) жидкость несжимаемая (ρ=соnst);

2) течение установившееся ;

3) все частицы жидкости движутся параллельно твердым стенкам канала, т. е. при совмещении координатной оси Оz с направлением течения, отличной от нуля будет лишь одна составляющая v_z cкорости ;

4) концевые эффекты пренебрежимо малы, т. е. картина течения в любом сечении, нормальному к потоку, идентична , что справедливо для сечений, удаленных от концов канала на расстояние равное 0,035 d Re, где d – характерный размер поперечного сечения: для щели – расстояние между плоскостями; для труб – ее диаметр; для кольцевого пространства – удвоенный зазор;

5) вдоль потока действует постоянный градиент давления равный – Δ p/L, где Δp>0 – полный перепад давления между сечениями, находящимися на расстоянии L друг от друга;

6) на жидкость действует объемная сила обусловленная только силой тяжести, где принимают знак (+), если жидкость движется вниз, и знак (-) – вверх, когда положительное направление оси Оz совпадает с направлением движения.

Если, кроме того, учесть, что скорости частиц жидкости в рассматриваемых каналах симметричны относительно плоскости yz – для щели и относительно оси Оz – для круглой трубы и кольцевого пространства, то v_z = v(x) и v_z = v(r) соответственно.

Поэтому, согласно соотношениям Коши (15) и уравнениям состояния (14) при течении жидкости в щели, отличными от нуля будут лишь одна скорость деформации и одно напряжение сдвига:

(3.1)

Аналогично для течения в трубе и в кольцевом пространстве:

(3.2)

Система дифференциальных уравнений (11) — (14) суще­ственно упрощается: первые два уравнения движения и уравнение неразрывности удовлетворяются тождественно, а третье уравнение системы (14) принимает вид —

при течении в плоской щели

при течении в трубе и кольцевом пространстве

где — гидродинамические потери давления, обуслов­ленные только движением жидкости независимо от направления течения.

Интегрируя эти уравнения при условиях σ_xz = 0 при х = 0 для щели и σ_rz = 0 при r = 0 для круглой трубы, получим соответ­ственно

(3.3)

(3.4)

где постоянная интегрирования только при течении жидкости в кольцевом пространстве.

Следует напомнить, что соотношения (3.1) — (3.4) справедли­вы при ламинарном течении любой (ньютоновской и неньютонов­ской) жидкости. Сохраняются они и при турбулентном течении, если под величинами понимать усредненные по времени значения .

Ниже приводятся аналитические решений граничных задач жидкости в щели и в кольцевом пространстве в зависимости от характера течения и реологических свойств жидкости. Решения для круглой трубы получаются простым предельным переходом из решений для кольцевого пространства.

Определяются также основные интегральные гидродинамические характеристики потока:

объемный расход

средняя скорость

(3.5)

коэффициент сопротивления

где - соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала; f = τ/W – коэффициент трения Фаннинга; - касательное напряжение у поверхности канала; - кинетическая энергия единицы объема жидкости.

Определение объемного расхода Q по заданному перепаду давления ΔР обычно называют прямой задачей гидродинамики, а определение перепада давления ΔР по заданному расходу Q – обратной задачей.

В этом отношении все приведенные ниже результаты относятся к решениям прямой граничной задачи, а полученные зависимости пользуются для вычисления гидравлических потерь. Для этой цели определяющим является закон сопротивления, т. е. зависимость коэффициента λ от характеристик течения.

Установление экспериментального закона сопротивления – задача практической гидродинамики (гидравлики), где приведенные ниже аналитические зависимости основополагающи.

Если λ не зависит от ΔР, то из третьей формулы (22) следует известный закон Дарси-Вейсбаха, широко используемый для вычисления гидравлических потерь в цилиндрических каналах при турбулентном режиме течения:

§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале

1. При ламинарном течении ньютоновской жидкости, согласно соотношениям (3.1), сохраняется только одно из уравнений состояния (2.24), а именно

(3.6)

Из сравнения этого уравнения с решением (3.3) следует дифференциальное уравнение относительно скорости

решение которого при граничном условии v(h) = 0 имеет вид

(3.7)

где 2h - ширина щели.

В результате по формулам (3.5) легко определяются основные характеристики потока:

(3.8)

где b - длина поперечного сечения щели; Rе _щ = р v_ср2h/μ – параметр Рейнольдса для плоской щели.

2. При ламинарном течении неньютоновской жидкости Шведова –Бингама, используя соотношения (3.1) в формулах (2.26) и (2.27), получим

(3.9)

где выбран знак (-), так как . Поэтому система уравнений (2.24) упрощается до одного уравнения

(3.10)

где 2h₀ – жесткое ядро потока (рис. 22).

Рис. 22. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова – Бингама.

Из сравнения соотношений (3.3) и (3.10), получим уравнение скорости

(3.11)

и формулу для вычисления ядра потока

(3.12)

Интегрируя уравнения (3.11) при условии v(h) = 0,найдем следующее распределение скорости:

(3.13)

Отсюда следует, что при h₀ = h движение жидкости происходить не будет, так как v(x) = 0. Поэтому условием существования движения является h₀ < h или, используя формулу (3.12),

Однако если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига τ₀, а статическим τ₀₀> τ₀, то условием страгивания покоящейся жидкости будет

По формулам (3.5) определяются основные характеристики потока, впервые полученные М. П. Воларовичем и А. М. Гуткиным:

(3.14)

где

Видно, что в данном случае кинематические характеристики потока Q, v _cp и коэффициент сопротивления λ зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает известные трудности при решении обратной задачи.

Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи то, приняв получим

(3.15)

где - обобщенный параметр Рейнольдса; приведенная вязкость жидкости Шведова-Бингама;

- параметр Сен-Венана для плоской щели.

3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последней системе уравнений (2.24) соотношения (3.1) и (3.9), получим

При сопоставлении этого уравнения состояния с (3.3) приходим к относительно скорости:

(3.16)

Интегрируя это уравнение при граничном условии v(h) = 0, получим распределение скорости

(3.17)

где

В результате интегральные характеристики потока (3.5) будут

(3.18)

где - обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости Освальда-Вейля для плоской щели. При

n =1 и k = μ формулы (3.17) — (3.18) совпадут с формулами (3.7) —(3.8).

4. При турбулентном режиме течения, когда параметры Rе, Re* или Rе' больше критических значений, решение уравнения движе­ния записывается в виде [сравните с (3.3)]

(3.19)

Касательное напряжение в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (3.6), (3.10) или (3.16). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (2.20), (3.1) и (3.9) удовлетворяет уравнению Прандтля:

(3.20)

где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - x, т. е.

s, (3.21)

где — константа, определяемая из опыта.

Напряжение имеет существенное значение лишь в непосред­ственной близости от стенок канала, т. е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.

В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением . Поэтому после подстановки (3.20) и (3.21) в (3.19) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:

(3.22)

где - приведенное значение касательного напряжения; s₁ —внешняя граница буферной зоны.

Прандтль ввел в уравнение (3.22) упрощение (физически, вообще говоря, ничем не обоснованное), положив правую часть уравнения равной . Но доказывается, что это упрощение вносит в конечный результат весьма небольшую погрешность.

Если, кроме того, ввести обозначение для динамической скорости на стенке канала , то уравнение (3.22) примет вид

Интегрируя это уравнение при условии , получим следующий универсальный закон распределения скорости:

(3.23)

В области, близкой к стенке канала (), профиль скорости отклоняется от распределения (3.23). Однако, учитывая, что отношение , можно в гидродинамических расчетах не принимать во внимание профиль скорости в пристенной области.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что логарифмическое распределение (3.23) достаточно хорошо описывает профили скоростей при турбулентных течениях различ­ных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением, разумеется, узких пристенных об­ластей). Различия могут составлять лишь входящие в (3.23) параметры.

Тогда для практически гладких и вполне шероховатых каналов формула (3.23) переписывается в виде

(3.24)

При s = h - получим максимальные значения скоростей

(3.25)

С учетом (3.25) формулы (3.24) можно записать так:

(3.26)

Отсюда путем интегрирования легко получить среднюю по сечению скорость потока

(3.27)

Найдем коэффициент сопротивления по формуле (3.8):

Если здесь воспользоваться формулами (3.27), (3.25) и преобра­зованием

то получим универсальный закон сопротивления:

для гладкого канала:

(3.28)

для вполне шероховатого канала

(3.29)

Из формул (3.28) и (3.29) следует вывод: для гладких стенок коэффициент сопротивления λ зависит только от параметров Рейнольдса, а для вполне шероховатых — от отношения s₀/h.

При переходном режиме, т. е. когда выполняется условие , коэффициент сопротивления зависит от Rе и s₀/h.

Способ его определения в этом случае, основанный на экспери­ментальных данных. В практических расчетах обычно в формулах (3.24) и (3.25) константу 8,5 заменяют на 9 и соответственно в формуле (3.29) — константу 2,12 на 2,3. Эти константы для каналов с естественной шероховатостью устанавливаются опытным путем.

Примечание. Все приведенные в этом параграфе формулы могут быть использованы и при расчете характеристик течения жидкостей по наклонной плоскости или в длинном лотке (желобе), у которого ширина b днища во много раз больше глубины потока h. Для этого необходимо принять и заменить 2b на b, где — угол наклона плоскости (лотка) к горизонту.

§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале

1. Для ньютоновской жидкости, используя соотношение (3.2) в системе уравнений (2.24), получим простейшее уравнение состояния

Из сравнения с решением (3.4) следует уравнение относительно скорости

Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям , имеет вид

(3.30)

где и — радиусы внутреннего и внешнего ци­линдров, ограничивающих кольцевой канал; ,

(3.31)

Нетрудно убедиться в том, что максимальная скорость жидкости будет при , а интегральные характеристики потока

(3.32)

где — параметр Рейнольдса для кольцевого канала.

Легко проверить, что при и поэтому .

Сравнивая полученные результаты с формулами (3.8), мо­жно сделать вывод, что кольцевой цилиндрический канал с отношением радиусов окружностей сечения

α> 0,3 и пло­ская щель с параметрами сечения 2h = R (1 - α) и b = πR (1+ α ) эквивалентны между собой в отношении интегральных ги­дродинамических характеристик при ламинарном течении нью­тоновской жидкости, т. е. величин v_cp, Q, λ, ΔР. Одна­ко эти каналы имеют и существенное различие: переход от ламинарного режима течения к турбулентному в кольцевом канале наступает быстрее, чем в плоской щели, так как

Из формул (3.30) и (3.32) при вытекают известные формулы Хагена - Пуазейля, характеризующие течение жидкости в круглой трубе:

где — параметр Рейнольдса для трубы.

2. Для ньютоновской жидкости Шведова — Бингама, если учесть характер распределения скорости (3.30) в кольцевом зазоре и соотношения (3.2) в формулах (2.26) и (2.27), получим

где α₁R и α₂R — радиусы цилиндрических поверхностей, огра­ничивающих жесткое ядро потока (рис. 8). Используя также соотношения (3.2), из (2.24) получим следующее уравнение состояния:

Из сопоставления с решением (3.4) имеем следующее дифференциальное уравнение относительно скорости:

(3.33)

а также уравнения относительно параметров α₁ и α₂ (безразмерные радиуса ядра потока) и ω = с / R:

(3.34)

Интегрируя уравнение (3.33) при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости

(3.35)

а из уравнений (3.34) следует, что

(3.36)

Если в последнем соотношении (3.36) принять α₁ = α и α₂ = 1, то получим условие отсутствия движения

Следовательно, течение неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в кольцевом канале возможно при условии

Из условия сопряжения скорости при вытекает третье уравнение относительно искомых параметров

(3.37)

которое с помощью соотношений (3.36) сводится к трансцендент­ному уравнению относительно одного из параметров ω², α₁ или α₂, допускающему лишь численное решение.

Рис. 23. Характерный вид профиля скорости в кольцевом канале при течении ньютоновской жидкости Шведова-Бингама.

В табл. 1 приведены значения параметров α₁, α₂ и ω, полученные путем численного решения уравнений (3.36) и (3.37) на ЭВМ с точностью до 1%.

Таблица 1

ΔP0/ΔP	α
0,45	0,55	0,65	0,75
α1	α2	ω	α1	α2	ω	α1	α2	ω	α1	α2	ω
0,1	0,68	0,74	0,71	0,74	0,79	0,76	0,8	0,84	0,82	0,86	0,89	0,87
0,3	0,63	0,79	0,7	0,7	0,83	0,76	0,77	0,87	0,82	0,84	0,91	0,87
0,5	0,57	0,85	0,69	0,65	0,88	0,76	0,73	0,91	0,81	0,81	0,94	0,87
0,7	0,52	0,91	0,69	0,61	0,93	0,75	0,7	0,94	0,81	0,79	0,96	0,87
0,9	0,48	0,97	0,68	0,57	0,98	0,75	0,67	0,98	0,81	0,77	0,99	0,87

Видно, что параметр очень слабо зависит от отношения Максимальное различие между значениями ω при и 0,9 составляет: 3,5% — при α = 0,45; 2%— при α = 0,55; 1% — при α = 0,65. Следовательно, параметр ω можно с высокой точностью вычислить по той же формуле, что и в задаче течения ньютоновской жидкости (3.31), т. е.

Решая систему уравнений (3.36), найдем с точностью до первого порядка относительно

Из сравнения с табличными значениями α₁ и α₂ легко убедиться, что погрешность такого приближения не более 4% для α₁, и 2% для α₂.

После подстановки полученных таким образом соотношений для параметров α₁, α₂ и ω в (3.35), интегрирования по кольцевому сечению и пренебрежения слагаемыми, содержащими величину в 3-й и 4-й степенях, получим следующий результат:

(3.38)

или при α > 0,3,

где — обобщенный параметр Рейнольдса: — приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и - параметр Сен-Венана для кольцевого канала: - то же, что в (3.32).

Надо подчеркнуть, что приближенное решение (3.38) практически не отличается от точного при выполнении условия <0,5 или

Расчеты показывают, что параметр , является практически постоянной величиной, диапазон его изменения составляет от 0,87 до 0,88 при 0,1< α <0,9.

Сравнивая формулы (3.15) и (3.38), можно сделать полезный вы­вод: при течении жидкости Шведова — Бингама имеет место гидрав­лическая эквивалентность кольцевого цилиндрического канала и плоской щели, если ; α >0,3; 2h = R (1- α); b = πR (1+ α)и где - соответственно предельные на­пряжения сдвига для жидкостей в щелевом и кольцевом каналах. Легко заметить, что последнее требование опускается, если принять =3/4, т.е. . Аналогично первой задаче и здесь отношение параметров Рейнольдса Rе к* и Rе_щ равно 2.

В предельном случае, когда — приведенный радиус жесткого ядра, из решений (3.35) и (3.38) следуют основные расчетные формулы для течения неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в круглой трубе радиуса R:

(3.39)

(3.40)

, — обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и — параметр Сен-Венана для трубы. Эти формулы известны как упрощенные формулы Букингама.

3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последнем уравнении состояния (2.24) соотношения (3.2) и значение интенсивности скорости деформации сдвига [см. формулу (2.27)].

получим

(3.41)

где использованы те же обозначения, что и в предыдущих задачах.

Из сопоставления (3.41) и (3.4) приходим к дифференциаль­ному уравнению

где — некоторая характерная величина ско­рости.

Интегрируя последнее уравнение при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости

(3.42)

Из условия сопряжения скорости при

(3.43)

определяется параметр ω.

В общем случае () интегралы в формуле (3.42) и в уравнении (3.43) нельзя представить элементарными функциями, и поэтому вычисления следует выполнять с помощью численного интегрирования на ПК. То же относится и к вычислению средней скорости потока

(3.44)

Численное решение уравнения (3.43) показывает, что параметр ω (безразмерная координата максимальной скорости) практически не зависит от реологической константы модели п и весьма точно может быть вычислен по формуле (3.31). Это иллюстрирует рис. 24, где показаны профили скорости для нескольких значений п, построенные по формулам (3.42) и (3.43) при α = 0,6.

Рис. 24. Профили скорости при α = 0,6 для степенной модели Освальда — Вейля:

1, 2, 3 - соответственно при n = 0,9; 0,7; 0,5.

С достаточной точностью рассчитать среднюю скорость можно по формуле

(3.45)

При этом коэффициент гидравлического сопротивления

где - обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Освальда — Вейля для кольцевого канала. В предельном случае, когда , уравнение (3.43) не имеет смысла, а из зависимости (3.42) следует элементарная формула для распре­деления скорости в сечении круглой трубы

где

Поэтому основные интегральные характеристики потока жидкости в трубе принимают вид

где — обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости для трубы.

4. При турбулентном режиме течения, учитывая соотношения (3.1) и характер распределения профиля скорости [см., например, соотношение (3.41)], найдем по уравнениям Прандтля (2.20) связь напряжения Рейнольдса с усредненной по времени скоростью :

(3.46)

Если исходить из тех же упрощающих предположений Прандтля, что и в области основного турбулентного ядра напряжения , принять равными касательным напряжениям на стенках канала соответственно слева и справа от цилиндрической поверхности r = ωR, то, используя формулу (21) при r = αR и r = R, получим

(3.47)

где

Из сравнения соотношений (3.46) и (3.47) получим уравнение относительно скорости

где - характерная скорость. Интегрируя данное уравнение с учетом условия при и , получим закон распределения скорости в кольцевом канале

(3.48)

где — максимальная скорость потока:

(3.49)

содержит экспериментальные параметры — размеры пристенных слоев у внутренней и внешней стенок канала.

Из равенства (3.49) следует уравнение относительно парамет­ра ω

(3.50)

Для упрощения решения этого трансцендентного уравнения примем, что отношения размеров зон турбулентного ядра и пристенных слоев слева и справа от поверхности равны между собой, т. е.

(3.51)

Тогда из уравнения (3.50) получим

(3.52)

Путем интегрирования профиля скорости (3.48), пренебрегая пристенными слоями и используя равенство (3.52), легко найти среднюю скорость турбулентного потока

(3.53)

Согласно формуле (3.5) коэффициент сопротивления

Отсюда, учитывая формулы (3.49), (3.52) и (3.53), получим

Принимая по аналогии с задачей для гладких стенок: = 0,4; закон сопротивления для кольцевого канала запишем в виде

(3.54)

где - вязкость или приведенная вязкость жидкости.

Рис. 25. Зависимость коэффициента сопротивле­ния от параметра Рейнольдса (закон сопротивле­ния) при турбулентном режиме течения:

1, 2 – соответственно при α = 0,9 и α = 0.

Если α = 0, то а=1 и соотношение (3.54) выражает известный универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб, который неоднократно был проверен опытами.

При α > 0,3 величина а изменяется в пределах от 0,54 до 0,45. Следовательно, для малых кольцевых зазоров () закон сопротивления (3.54) принимает вид закона сопротивления для щели (3.28), где 2h = R (1 - α).

Из рис. 25 следует вывод, что закон сопротивления при турбулентном режиме течения слабо зависит от α, т. е. от формы канала (круглая труба, кольцевое пространство или щель). В диапазоне чисел Рейнольдса кри­вые на рис. 25 можно аппроксимировать функцией , которую принято называть формулой Блазиуса.

Таблица 2.

S0/R	а
		0,3	0,5	0.7	0,9
0,001	0,016	0,018	0,02	0,023	0,032
0,005	0,025	0,027	0,031	0,037	0,056
0,01	0,03	0,034	0,038	0,047	0,077
0,025	0,041	0,046	0,054	0,069	—
0,05	0,053	0,062	0,073		—

Отсюда непосредственно находят коэффициент сопротивления по высоте элемента шероховатости s₀ стенки канала. Некоторые значения λ, вычисленные по этой формуле, приведены в табл. 2.

Полученные выше решения дают основание сделать следующий практический вывод: при гидравлических расчетах или обра­ботке опытных данных кольцевой канал скважины можно рас­сматривать как щель с параметрами 2h = R (1 - α) и b =π R (1 + α). При этом точность расчета будет зависеть в основном от точности значений реологических параметров жидко­сти и геометрических параметров кольцевого зазора.

Для расчета гидравлических потерь при турбулентном ре­жиме течения жидкости в затрубном пространстве открытой части ствола скважины необходимо воспользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, в которой среднестатистическое значение коэффициента λ должно быть установлено по опытным данным в п типовых скважинах.