§ 23 Решение уравнений Максвелла в вакууме
В вакууме объемная плотность заряда и плотность тока в любой точке равны нулю. Уравнения Максвелла будут выглядеть следующим образом:
(23.1)
Получим уравнения, в которые будут входить только электрическое или только магнитное поле. Для этого вычислим ротор левой и правой части третьего уравнения Максвелла:
.
Ротор магнитного поля в правой части заменим в соответствии с четвертым уравнением Максвелла. Кроме этого учтем, для всякого векторного поля, в том числе для электрического поля, :
.
Мы учли, что дивергенция вектора равна нулю в силу первого уравнения Максвелла. Итак, для электрического поля в вакууме получили уравнение:
. (23.2)
Аналогичным образом можно получить такое же уравнение для магнитного поля.
. (23.3)
Уравнения (23.2), (23.3) совпадают с волновым уравнением, которое описывает акустическую волну в изотропной сплошной среде(Механика, 28.3):
.
В этом уравнении - скорость акустической волны.
Получив волновое уравнение для электромагнитного поля, Максвелл, по аналогии с акустическими волнами, предположил, что электромагнитные волны должны распространяться со скоростью света. Более того, и сам свет – это электромагнитные волны. Если световые пучки экспериментаторы в середине 19 века получать умели, то электромагнитные волны за счет колебаний токов в проводниках или колебаний напряженности электрического поля, например, в конденсаторе – нет. Открытие электромагнитных волн Максвеллом “на кончике пера” ждало экспериментального подтверждения, которое впервые было получено Г. Герцем.
|
|
Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси х. В этом случае волновой фронт перпендикулярен оси х. Электрическое и магнитное поле волны от y и z координат не зависят. Тогда для проекции получим:
.
Считаем всюду равной нулю, поскольку это величина постоянная, а в тех точках пространства, куда волновой фронт еще не добрался, электрическое поле отсутствует. Аналогичный результат мы получим и для проекции.
Полученный результат говорит нам о том, что электромагнитные волны – поперечные волны. И электрическое и магнитное поле бегущей волны перпендикулярны направлению ее распространения.
Остается определить и . Волновое уравнение для этих проекций разделяется и общее решение будет линейной комбинацией решений для каждой проекции. Решением уравнения для будет функция:
,
где - волновое число.
Определим магнитное поле в плоской волне, связанное с электрическим полем . Вычислим ротор вектора :
. (23.4)
После подстановки решения для , получим уравнение для :
|
|
,
решение которого будет равно:
.
Амплитудные значения электрического и магнитного полей равны. Сами поля взаимно перпендикулярны. Электромагнитная волна, которую мы получили, изображена на рис.23.1.
Рис.23.1
Общее решение уравнений (23.2, 23.3) для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении в выбранной системе координат, может быть представлено в экспоненциальном виде:
, (23.5)
где - волновой вектор. Он перпендикулярен фронту плоской волны и совпадает с направлением ее распространения. Для поперечной электромагнитной волны
. (23.6)
Действительно, для точки А на рисунке 23.1 циркуляция по контуру в плоскости xy будет отрицательной и определит направление магнитного поля в соответствии с уравнением (23.4). Частная производная магнитного поля по времени в этой точке будет положительной, поскольку в бегущей волне в этой точке амплитуда вектора магнитного поля растет.
Изображенная на рис.23.1 электромагнитная волна называется плоско или линейно поляризованной. Первое определение связано с тем, что и вектор и вектор в ней каждый колеблется в одной плоскости. Второе определение связано с тем, что проекции этих векторов на плоскость, перпендикулярную направлению распространения, - прямые отрезки (линии). Эта волна будет также монохроматичной (одноцветной) в том смысле, что ее длина
неизменна и в оптическом диапазоне она окрашена в один цвет. Здесь - период колебаний, - частота колебаний, - циклическая частота колебаний.
§ 24 Экспериментальное обнаружение электромагнитных волн
Электромагнитные волны были обнаружены спустя пятнадцать лет после выхода из печати трактата Максвелла по электричеству и магнетизму Генрихом Герцем (H.Hertz, 1887). Это, наверное, связано с тем, что предшествующие эксперименты проводились на низких частотах, а мощность излучения, как мы убедимся чуть позже, пропорциональна четвертой степени частоты колебаний.
Если изъясняться на языке патентного законодательства, то можно сказать, что Герц предложил способ возбуждения высокочастотных колебаний и их регистрации, а также устройства для их реализации.
Высокочастотные колебания в своих первых экспериментах Герц возбуждал в - контуре с сосредоточенными параметрами (вибратор), период колебаний в котором уже в то время можно было определить по формуле Томсона . Контур представлял собой два штыря с маленькими шариками разрядного промежутка, соединенные рамкой. Для того, чтобы можно было менять резонансную частоту контура, на штырях могли перемещаться металлические сферы. В этом контуре штыри со сферами – конденсатор, а рамка – индуктивность контура. Вибратор Герца, как впрочем, и всякий реальный излучатель, имеет диаграмму направленности, в которой направление максимальной мощности излучения показано на рис.24.1.
Рис.24.1
Приемник – контур с разрядником, имел резонансную частоту, совпадающую с резонансной частотой вибратора, и, следовательно, с частотой электромагнитной волны. Регистрация волны была визуальной – по появлению разряда. Интенсивность волны была пропорциональна длине разрядного промежутка, в котором при данных условиях появлялся разряд.
Для тех геометрических параметров вибратора, который использовался в эксперименте, период резонансных колебаний равнялся приблизительно с. Сами колебания возбуждались после подачи высоковольтного импульса. Подводящие провода имели индуктивность большую индуктивности контура. Поэтому после проскакивания разряда, появлялся ток в контуре (в этот момент вся энергия, запасенная в контуре, равнялась энергии магнитного поля) и возникали высокочастотные колебания в нем. Большие индуктивности подводящих проводов имели большие эквивалентные сопротивления на частоте резонансных колебаний, так что внешняя цепь не влияла на эти колебания. Излучалась электромагнитная волна, которая регистрировалась приемником.
|
|
Мощность электромагнитного поля, которое создавало разряд в приемнике, была в эксперименте существенно выше, чем та, которая могла в нем появиться за счет обычной электромагнитной индукции. Это и явилось экспериментальным подтверждением существования электромагнитных волн.
В дальнейших экспериментах Герц, наблюдал отражение электромагнитных волн от металлических и диэлектрических поверхностей. Поместив вибратор в центр кривизны цилиндрической металлической (незамкнутой) поверхности, он получил плоскую волну. Перемещая приемник вблизи стены лаборатории, Герц обнаружил интерференцию волн. Интерферировали две волны, первая - падающая от излучателя и волна, отраженная от стены.
Дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования привели Герца к количественному описанию дипольного излучателя. Это уже резонансный излучатель с распределенными параметрами, поскольку в нем мы уже не можем выделить части, сопоставимой с конденсатором, и части, сопоставимой с индуктивностью. Этот результат является основой для расчета любых антенн приемников и передатчиков электромагнитных волн радиодиапазона, поскольку любая антенна может быть представлена в виде суммы дипольных излучателей в силу принципа суперпозиции полей.
Эксперименты А.С.Попова (1895 г.) в этой области привели к изобретению радиосвязи – передачи информации с помощью электромагнитных волн при их амплитудной модуляции. Последующие успехи в области радиосвязи связаны с изобретениями различных генераторов высокочастотных (до ~1 Ггц), сверхвысокочастотных (до ~1 Тгц) колебаний, использовании различных видов модуляции электромагнитных волн.
Наиболее впечатляющи из современных устройств для приема и передачи электромагнитных волн – параболические антенны для дальней космической связи с многометровыми зеркалами, в фокусах которых находятся излучатели; фазированные антенные решетки (ФАР) для целей радиолокации и управления объектами, которые состоят из огромного количества отдельных дипольных излучателей. В последнем случае диаграмма направленности – довольно узкий луч с плоским фронтом, который получается в результате интерференции когерентных волн отдельных излучателей. К описанию ФАР мы еще вернемся, когда будем говорить об интерференции электромагнитных волн подробнее.
|
|
В используемом каждым из вас мобильном телефоне, в качестве приемо-передающей антенны используется сложная антенна, в которой параллельно могут быть соединены две антенны (рис.24.2).
Рис.24.2
Одна из них - без диаграммы направленности (почти изотропный излучатель). Другая - все тот же дипольный излучатель Герца (полоска в нижней части фотографии). Эта полоска, правда, несколько изогнута. Подумайте, для чего это сделано.
§ 25 Энергия и импульс электромагнитной волны
На рис.23.1 изображена монохроматичная плоская линейно поляризованная волна. Если мы сделаем мгновенную “фотографию” этой волны, то в разных точках пространства вдоль оси х объемная плотность энергии магнитного и электрического полей будут меняться по гармоническому закону. Если вдоль оси х будет распространяться множество таких волн с разными частотами, фазами, амплитудами, то их суперпозиция будет представлять собой плоскую, не монохроматичную, не поляризованную волну, для которой в каждой точке пространства, где она распространяется, объемная плотность энергии будет одинаковой и равной:
,
поскольку для каждой волны амплитудные значения электрического и магнитного полей равны.
Плотность потока энергии – энергия, переносимая волной через единицу поверхности волнового фронта в единицу времени, будет равна:
.
Для линейно поляризованной волны можем определить вектор Пойнтинга (надеюсь, путаницы с обозначениями не возникнет, поскольку мы чаще всего используем вектор элементарной площадки , а вектор Пойнтинга – конечная величина):
. (25.1)
С электромагнитными волнами, по нашим современным представлениям, можно связать поток частиц – фотонов, масса которых равна нулю. Между энергией и импульсом каждого фотона есть связь (Механика 38.6 - ). Используя ее, мы можем определить плотность потока импульса электромагнитной волны:
. (25.2)
Он оказывается равен вектору Пойнтинга, деленному на скорость света.
Модуль величины стоящей слева – давление, которое электромагнитная волна будет оказывать на поглощающую поверхность при нормальном падении. Если волна будет нормально падать на идеально отражающую поверхность, то давление увеличится в два раза.