2015-03-22
875
Пусть 
- значения некоторой функции 
, соответствующие равноотстоящим значениям аргумента 
, т.е. 
.
Введем обозначения:
- разности первого порядка данной функции;
- разности второго порядка данной функции;
……….
- разности (n+1)-го порядка данной функции.
Запишем таблицу разностей:
| x | y | 
| 
| 
| 
|
| 
| ||||
| |||||
| 
| 
| |||
| 
| ||||
| 
| 
| 
| ||
| 
| ||||
| 
| 
| |||
| |||||
| 
| ||||
| … |
Если считать n – не только целое и положительное число, а может быть любым (n=t), то интерполяционная формула Ньютона выглядит так:
(1)- интерполяционная ф-ла Ньютона.
Мы получили такую функцию от t, которая при t=0 обращается в y0, при t=1 обращается в y1, при t=2 в y2 и т.д. Так как каждое последующее значение x при постоянном шаге h определяется равенством 
, то 
. Тогда полагая 
, т.е. 
, приведем формулу(1)к виду 
(2)
Пример1. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей
|
|
|
| x | |||||
| y |
Решение: Составим таблицу разностей:
| x | y |
|
|
|
| =1
| =3
| |||
| =7-3=4
| ||||
| =2
| =7
| =6-4=2
| ||
| =13-7=6
| =2-2=0
| |||
| =3
| =13
| =8-6=2
| ||
| =21-13=8
| =2-2=0
| |||
| =4
| =21
| =10-8=2
| ||
| =31-21=10
| ||||
| =5
| =31
|
Здесь 
Подставим указанные значения в (2): 
,
- интерполяционный многочлен Ньютона.
Пример 2. Даны десятичные логарифмы чисел: lg2,0=0,30103, lg2,1=0,32222, lg2,2=0,34242, lg2,3=0,36173, lg2,4=0,38021, lg2,5=0,39794. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найти lg2,03.
Решение. Составим таблицу разностей:
| x | y |
|
|
|
| 
|
| =2,0
| =0,30103
| |||||
| =0,02119
| ||||||
| =2,1
| =0,32222
| =-0,00099
| ||||
| =0,02020
| =0,0001
| |||||
| =2,2
| =0,34242
| =-0,00089
| =-0,00004
| |||
| =0,1931
| =0,00006
|  =-0,00006
| ||||
| =2,3
| =0,36173
| =-0,00083
|  =-0,00002
| |||
| =0,01848
|  =0,00008
| |||||
| =2,4
| =0,38021
|  =-0,00075
| ||||
 =0,1773
| ||||||
 =2,5
|  =0,39794
|
Здесь
Подставим указанные значения в (1):
Итак, lg2,03=0,30750
