Корреляция

ПАРНАЯ:

Корреляционно – регрессионный анализ заключается в построении и анализе экономико-математической модели в виде уравнения регрессии. К простейшим корреляционным связям относят парные (однофакторные) зависимости. Линейное уравнение регрессии имеет вид:

~

Yх = а 0+ а 1 х

x

где Y € - результативный показатель;

x - факторный показатель;

a 0- свободный член уравнения;

a 1- коэффициент регрессии.

Для нахождения параметров уравнения решают систему уравнений:

S У = а 0 n + а 1S Х

S УХ

= а 0S Х + а 1S Х 2

При анализе модели рассчитывают следующие показатели:

ü коэффициент корреляции;

ü коэффициент детерминации;

ü коэффициент эластичности.

Кроме того, анализу подлежит коэффициент регрессии.

Модель проверяют на достоверность с помощью t – критерия Стьюдента.

МНОЖЕСТВЕННАЯ:

Чаще всего в анализе используют многофакторные линейные корреляционно – регрессионные модели. В общем виде модель имеет вид:

Yx = a 0+ a 1 x 1+ a 2 x 2+.... + anxn

В модель включают только значимые факторы. Кроме того, никакие два включенных фактора не могут быть мультиколлинеарными.

Параметры уравнения находят, решая систему уравнений:

ìS У

ï

= а 0 n + а 1S Х 1+ а 2S Х 2 +.... + аn S X n 2

ïS YX 1 = a 0S X 1+ a 1S X 1

ï

+ a 2S X 1 X 2 +.... аn S X 1 X n

íS YX 2 = a 0S X 2 + a 1S X 1 X 2 + a 2S X 2

+..... an S X 2 X n

ï............................................................................

ï

î

ïS X n

= a 0S X n

+ a 1S X 1 X n

+ a 2S X 2 X n

+.... + an S X n

ü коэффициенты эластичности;   ü бета – коэффициенты;   ü парные коэффициенты детерминации;   ü совокупный коэффициент корреляции;   ü совокупный коэффициент детерминации.   На достоверность модель проверяют, как правило, с

Принято рассчитывать и анализировать следующую систему показателей:

помощью F – критерия (Фишера).

Пример нахождения линейного уравнения связи вида

Y (x 1; x 2) = a 0+ a 1 x 1+ a 2 x 2;

Где Y – объем продукции, млн руб.;

X1 – стоимость основных производственных фондов, млн руб.;

Х2– площадь сельскохозяйственных угодий, га.

Таблица 1 - Исходные данные

№ п/п	Объем продукции, млн руб.	Стоимость опф, млн руб.	Площадь с/х, га
	4,3	3,3
	6,4	3,5
	5,2	3,9
	11,9	6,6
	9,4	5,5
	5,6	4,5
	12,6	7,0
	5,8	4,0
	3,5	3,5
	8,9	5,6
	7,9	4,5
	3,5	3,1
	3,9	4,0
	2,4	2,0
	4,9	3,6

Примечание: объем совокупности недостаточен. Он взят условно, только для отражения методики расчета.

Расчет на ЭВМ:

парные коэффициенты корреляции:

r (x 0, x 1) = 0.95326

r (x 0, x 2) = 0.75360 r (x 1, x 2) = 0.74175

Х(0) расч	Х(0) факт	Х(1)	Х(2)
4,1926	4,3000	3,3000	50,0000
4,7734	6,4000	3,5000	62,0000
5,4566	5,2000	3,9000	54,0000
11,1147	11,9000	6,6000	70,0000
8,8771	9,4000	5,5000	68,0000
6,7655	5,6000	4,5000	61,0000
12,2912	12,6000	7,0000	95,0000
5,8816	5,8000	4,0000	69,0000
4,3548	3,5000	35,000	34,0000
9,5114	8,9000	5,6000	97,0000
7,3486	7,9000	4,5000	100,0000
3,8809	3,5000	3,1000	56,0000
5,8068	3,9000	4,0000	64,0000
1,2546	2,4000	2,0000	28,0000
4,6901	4,9000	3,6000	43,0000

Уравнение: х0=-3,1779+2,0070х1+0,0150х2

	Средние значения	Ср. квадрат. отклонение	Коэф-ент вариации	Бетта – коэф-ты	Коэф-ент эластич- ности
Х0	6,413	2,99285	0,46666
Х1	4,307	1,30714	0,30352	0,87656	1,34772
Х2	63,400	20,70040	0,32650	0,10341	0,14780

Множественный коэффициент: детерминации 0,9135

корреляции 0,9558 Корректированный множественный коэффициент:

детерминации 0,8991

Коэффициенты раздельной детерминации: d2(x0,x1) = 0.8224

d2(x0,x2) = 0.0767

Число степеней свободы: 12

Остаточное среднеквадратическое отклонение: 0,9840 Критерий Фишера: 63,3806

Для нахождения параметров уравнения составим таблицу.

Таблица 2 - Вспомогательные расчеты для нахождения параметров уравнения

Yi	X1	X2	X12	X22	YX1	YX2	X1X2	Y2
4,3	3,3		10,9		14,2	215,0		18,5
6,4	3,5		12,3		22,4	396,8		41,0
5,2	3,9		15,2		20,3	202,8	210,6	27,0
11,9	6,6		43,6		78,5	833,0		141,6
9,4	5,5		30,3		51,7	639,2		88,4
5,6	4,5		20,3		25,2	341,6	274,5	31,4
12,6	7,0		49,0		88,2	1197,0		158,8
5,8	4,0		16,0		23,2	400,2		33,6
3,5	3,5		12,3		12,3	119,0	119,0	12,3
8,9	5,6		31,4		49,8	863,3	543,2	79,2
7,9	4,5		20,3		35,6	790,0	450,0	62,4
3,5	3,1		9,6		10,9	196,0	173,6	12,3
3,9	4,0		16,0		15,6	249,6	256,0	15,2
2,4	2,0		4,0		4,8	67,2	56,0	5,8
4,9	3,6		13,0		17,6	210,7	154,8	24,0
∑96,2	64,6		304,2		470,3	6721,4	4395,7	751,5

ì15 а 0 + 64,6 а 1 + 304,2 а 2 = 96,2

ï

ï

í64,6 а 0+ 304,2 а 1+ 4395,7 а 2= 470,3

î951 а 0 + 4395,7 а 1 + 66721 а 2 = 6721,4

Решая данную систему любым удобным способом (матричным, Гауса, Крамера) получим следующее уравнение связи:

~

Yx = -3,18 + 2,00 x 1+ 0,02 x 2

Анализ коэффициентов регрессии показывает, что если стоимость основных производственных фондов увеличится на 1 млн рублей, то объем продукции увеличится на 2 млн рублей. При увеличении площади сельскохозяйственных угодий на 1 га объем продукции увеличится на 0,02 млн рублей. Связь между показателями прямая.

Найдемзначениебета– коэффициентов ( i) используяформулы:

x



i

i = ai

y

где аi - i–тый коэффициент регрессии

o

x

- среднеквадратическое отклонение i–того фактора;

i

o y - среднеквадратическое отклонение результата.

Среднеквадратическое отклонение определяют по формулам:

2 2

o xi =

(x 1

) - (x 1)

= 1,31 млн.руб.

x

 = (x

2

2) - (x) 2

= 20,7 га

o y =

(Y 2) - (Y)2= 2,99 млн руб

Следовательно, бета – коэффициенты будут равны:

 1 = 0,88 млн. руб.

 2 = 0,10 га

Так, если стоимость основных производственных фондов

увеличится на одно свое среднеквадратическое отклонение (1,31 млн руб), то объем продукции увеличится на 0,88 своих среднеквадратических отклонений (2,99*0,88=2,63 млн руб). При увеличении площади сельскохозяйственных угодий на одно свое среднеквадратическое отклонение (20,7га), то стоимость продукции увеличится на0,410своих среднеквадратических отклонений (2,99*0,10=0,29 млн руб)

Произведем расчеты коэффициентов эластичности (Э) по формуле:

Эi

где

= di

X i,

Y

X i - среднеезна чениеi - тогофактор а Y - среднеезна чениерезул ьтата

Э1= 1,35%

Э2= 0,15%

Анализ коэффициентов эластичности показывает, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1

% (0,04 млн руб) объем продукции увеличится на 1,35% (0,09 млн руб). При увеличении площади сельскохозяйственных угодий на 1% (0,63 га) объем продукции увеличится на 0,15% (0,01 млн руб)

Парные коэффициенты корреляции отражают тесноту связи и находятся по формуле:

r = X i Y - X i Y

x

y

i  

i

r1=0,95 r2=0,75

следовательно, связь между показателями весьма сильная. Коэффициенты раздельной детерминации

i

(di = rxy * i *100%)

показывают на сколько процентов

вариация результата зависит от вариации фактора. Так, d1=82,2

%, следовательно, вариация объема продукции более чем на

80% зависит от вариации стоимости основных производственных фондов. d2=7,7%, следовательно вариация объема продукции на 7,7 % зависит от вариации площади сельскохозяйственных угодий.

Определим совокупный коэффициент корреляции:

2 ~

R = 



y

y

Yi

å(~ - Y)2

где 

~ y =

n

- факторная дисперсия;

 2 y =

å(Yi - Y)

n

- общая дисперсия.

или R =

å i * ryxi.

R=0,96, следовательно, связь между объемом продукции и совместным влиянием стоимости основных производственных фондов и площадью сельскохозяйственных угодий весьма сильная. Совокупный коэффициент детерминации (D=R2*100%)=91,4%. Следовательно, вариация объема продукции более чем на 90% зависит от совместной вариации факторов, включенных в модель.