Определители

Пусть – квадратная матрица порядка n. Рассмотрим произведение каких-либо элементов этой матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца:

. (2.1)

Здесь при , и поэтому – некоторая перестановка натуральных чисел . Число таких перестановок, как известно, равно . Следовательно, и число всевозможных произведений вида (2.1) также равно .

Говорят, что в перестановке числа и образуют инверсию (или беспорядок), если и . Число всех инверсий, образованных членами перестановки , обозначим символом . Например, , .

Пример 1. Найти число инверсий в перестановке .

Решение. По определению два числа образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит перед меньшим. Поэтому в данной перестановке инверсии образуют следующие пары чисел: 4 и 3, 4 и 2, 5 и 3, 5 и 2, 3 и 2. Следовательно, в рассматриваемой перестановке пять пар чисел образуют инверсии, то есть .

Определение 2.1. Определителем порядка (или просто определителем) матрицы называется алгебраическая сумма различных произведений вида

Определитель матрицы обозначается одним из следующих символов:

Число (так же, как и у матрицы) называется элементом определителя (расположенным на пересечении его -й строки и -го столбца). Иногда через обозначают определитель, полученный из определителя заменой его -го столбца числами . Таким образом, сам определитель .

Рассмотрим, например, определитель 3-го порядка

Он в силу определения 2.1 равен сумме различных произведений вида

где обозначает перестановку из натуральных чисел .

Таким образом,

. (2.2)

Из полученного равенства видно, что каждое слагаемое в выражении (2.2) является произведением трёх элементов определителя, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца.

Определитель транспонированной матрицы называется транспонированным определителем и обозначается одним из следующих символов:

Сформулируем ряд свойств, которыми обладает любой определитель .

Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть .

Например, вычисляя определители

по правилу треугольников получаем

;

Так что .

Из данного свойства следует, что всякое утверждение относительно строк определителя будет иметь место также для его столбцов, и наоборот, то есть в определителе строки и столбцы равноправны. Это позволяет последующие свойства сформулировать лишь для столбцов, так как они будут справедливы и для строк.

Свойство 2. Если в определителе поменять местами два произвольных столбца, то знак определителя изменится на противоположный.

Свойство 3. Если некоторый столбец определителя состоит целиком из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 4. Определитель, имеющий два одинаковых столбца, равен нулю.

Свойство 5. Умножение всех элементов некоторого столбца определителя на одно и то же число равносильно умножению определителя на то же число .

Так как определитель можно записать в форме , то свойство 5 можно выразить в форме равенства

. (2.3)

Таким образом, общий множитель всех элементов некоторого столбца определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 6. Определитель, имеющий два пропорциональных столбца, равен нулю.

Свойство 7. Если все элементы -го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых

то определитель равен сумме двух определителей: , где , .

Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам одного из его столбцов прибавить соответствующие элементы любого другого столбца, умноженные на фиксированное число.

Так как , то, полагая , свойство 8 можно выразить в форме равенства

Замечание. Свойство 8 можно сформулировать в более общей форме: определитель не изменится, если к элементам одного из его столбцов прибавить соответствующие элементы любого числа других столбцов, умноженные на фиксированные числа: