1. Если функция f (x) имеет производные любого порядка в окрестности точки
х = 0, то для функции f (x) может быть получен ряд Маклорена:
(14.4)
Для того, чтобы ряд Маклорена (14.4) сходился к функции f (x), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞, остаток ряда стремился к нулю, т.е.
(14.5)
для всех значений х из интервала сходимости ряда.
2. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций[1]
(14.6)
(14.7)
(14.8)
(14.9)
(14.10)
(14.11)
(14.12)
3. Ряд Маклорена (при х 0=0) является частным случаем ряда Тейлора:
(14.13)
Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:
(14.14)
где - остаточный член формулы Тейлора:
(14.15)
или записанный в форме Лагранжа.
При выполнении условия (14.5) остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.
4. Свойства степенных рядов:
а) Если f (x) – сумма степенного ряда, т.е. то на любом отрезке [ a, b ], целиком принадлежащем интервалу сходимости (- R; R), функция f (x) является непрерывной, а степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:
(14.16)
б) В интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:
(14.17)
При этом ряды (14.16) и (14.17) имеют тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд (14.1).
5. Если в некоторой окрестности точки х =0 имеют место разложения
(14.18)
(14.19)
то произведение функции f (x) φ (x) разлагается в той же окрестности в степенной ряд
(14.20)
(правило перемножения рядов).
В частности, при f (x)= φ (x)
(14.21)
(правило возведения ряда в квадрат).
Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов (свойства (14.16), (14.17)) могут быть использованы при нахождении суммы степенного ряда.
14.22. Найти сумму ряда при
а)
б)
Решение:
а) Можно заметить, что полученное интегрирование данного ряда (на отрезке [0; x ], где приведет к геометрическому ряду (14.22), сумма которого известна:
(14.22)
Полагая найдем сумму ряда (14.22):
или
Возвращаясь к исходному ряду, находим его сумму дифференцированием S (x). Итак, сумма данного в условии ряда
б) Данный ряд может быть приведен почленным дифференцированием в интервале сходимости к геометрическому ряду сумма которого равна Сумму исходного ряда находим интегрированием на отрезке [0;x], где :
Существует несколько способов разложения функций в степенной ряд. Проиллюстрируем их на конкретных примерах.