Дискретные передаточные функции и разностные уравнения

В инженерной практике для описания динамических звеньев дискретных САУ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т. п.) применяют дискретные передаточные функции вида

(10.9)

где X (z), Y (z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Заметим, что практически реализуемые дискретные передаточные функции должны иметь порядок полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.

Способы получения дискретной передаточной функции:

1). Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа):

x (t) x (kT) X (z)

y (t) y (kT) Y (z)

Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x (t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x (kT). Каждое значение x (kT) домножить на z ^{- k}, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (10.7), которая по сути представляет собой дискретное преобразование Лапласа X (z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y (t). Прямое z -преобразование является однозначным преобразованием.

2). С помощью таблицы z -преобразований.

В табл. 10.1 приведено z-преобразование наиболее часто встречающихся в САУ функций.

Табл. 10.1

x (t)	X (p)	X (z)
1(t)
t
sin
cos
sin
cos

3). Через импульсную переходную характеристику

.

Замечание: эти преобразования относятся к дискретным системам без фиксатора (экстраполятора).

Следует отметить, что, хотя прямое преобразование Лапласа является однозначным, одно и то же динамическое звено может иметь бесчетное число дискретных передаточных функций в зависимости от применяемого метода экстраполяции. В частности, интегрирующее звено может быть представлено следующими дискретными передаточными функциями:

; (10.10)

, (10.11)

, (10.12)

, (10.13)

где T – такт квантования, 0 £ a £ 1.

Первая и вторая передаточные функции получены с применением экстраполяции нулевого порядка (метода прямоугольников), причем оценка производной выходного сигнала осуществляется соответственно в k -й и

(k -1)-й моменты времени.

Третья передаточная функция получена с применением метода Тастина (метода трапеций), причем усредненная оценка производной выходного сигнала осуществляется по двум точкам – в k -й и (k -1)-й моменты времени.

Четвертая передаточная функция (семейство передаточных функций) получена на основе метода прямоугольников со смещенной оценкой производной выходного сигнала (a = var).

Дискретные передаточные функции дифференцирующего звена могут быть получены из приведенных выше путем перестановки полиномов числителя и знаменателя.

К дискретным передаточным функциям и соответствующим структурным схемам применимы те же аправила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования цифровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в интегрирующих звеньях (формулы 10.10…10.13), имеют вид:

1. Y (kT) = Y ((k -1) T) + TX (kT);

2. Y (kT) = Y ((k -1) T) + TX ((k -1) T);

3. Y (kT) = Y ((k -1) T) + 0,5 T [ X (kT) + X ((k -1) T)];

4. Y (kT) = Y ((k -1) T) + (T / (1+ a)) [ X (kT) + a X ((k -1) T)].

В пространстве состояний цифровые (импульсные) системы управления представляют либо в виде векторно-матричных разностных уравнений, либо в виде структурных схем с дискретным временем (схем пространства состояний) [2].