Производная неявно заданной функции

Функция вида называется неявной. Дифференцируя обе части этого тождества по х (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции), считая, что y есть функция от x, получим уравнение первой степени относительно y'. Из этого уравнения легко находят y'.

Пример.

Решение: Дифференцируя по обе части уравнения, получим

;

42. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

43. Теоремы Ферма, Ролля и Коши. Теорема Лагранжа.

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале ;
2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.