Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя

Пример 4. Применим доказанную теорему к решению рекуррентного уравнения u_n₊₂= 5 u_n₊₁- 6 u_n, при начальных условиях u₀= u₁= 1. Здесь K(x)=1 - 5x + 6x². Вычислим D(x) = K(x)u(x) = (1-5x+6x²)(u₀+ u₁x + ∙ ∙ ∙) = 1-4x. Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателя K(x) в произведение (1 - a₁x) (1- a₂x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виета. Поскольку

a₁ + a₂ = 5, a₁ a₂= 6,

то a₁и a₂ - корни квадратного уравнения a² - 5 a +6 =0, и . Приходим к формуле

Теперь найдем разложение в сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов . Получим систему линейных уравнений A+B =1, 3A+2B=4. Ее решение A=2, B= -1. Отсюда . Это приводит к ответу u_n = 2ⁿ⁺¹-3ⁿ.

В общем случае числа a_I в разложении K(x) = (1 - a₁x) (1- a₂x) ∙ ∙ ∙ (1 - a_rx) являются корнями уравнения F(a)=a^r- c₁a^r^-¹ - ∙ ∙ ∙ - c_r_-1a - c_r =0, ибо K(x)= .

Если все корни уравнения F(a)=0 действительны и различны, то получаем

откуда _.

Это позволяет составить систему линейных уравнений для нахождения A_i с помощью известных значений u₀, u₁, ∙∙∙, u_r_-1. Если существуют кратные корни, то, пользуясь формулами для производных от геометрической прогрессии, можно доказать, что решение будет дополняться слагаемыми , где k – кратность корня a_I.