Методы и модели в экономике

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Часть 3. Методы и модели в экономике. Финансовая математика. Эконометрика.

Методические материалы и указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочной формы обучения

Королёв, 2005

Борисова О.Н., Яцкевич А.Б. (под редакцией Борисова В.Ф.) Математика и ее приложения. Методические материалы и указания к выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения КИУЭС. Часть 3. Методы и модели в экономике. Финансовая математика. Эконометрика. - Королев: КИУЭС, 2005, с.

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Сдвижков О.А., к.ф.-м.н., доцент Киселев В.Н..

В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения и приводятся решения задач контрольных работ по курсам “Методы и модели в экономике”, “Финансовая математика”, “Эконометрика” для студентов-заочников КИУЭС. Пособие может служить путеводителем при работе с более полными и подробными курсами математики.

РЕКОМЕНДОВАНО Учебно-методическим советом КИУЭС Протокол № от 2005 г.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики. Протокол № 5 от 05.03.2005 г.

Зав. кафедрой математики КИУЭС д.ф.-м.н., профессор Борисов В.Ф.

Методы и модели в экономике.

Курс “Методы и модели в экономике” включает в себя несколько разделов теории исследования операций. Первая задача контрольной работы № 5 принадлежит к задачам сетевого и календарного планирования. Опишем простейшую модель сетевого планирования. Имеется производственный цикл, разбитый на этапов, которые мы будем обозначать числами . Переход от одного этапа к другому осуществляется посредством выполнения производственных операций, которые мы будем обозначать . Для операции этап называется началом операции, а этап называется ее окончанием. Задан список операций и их продолжительность . Основная аксиома сетевого планирования требует, чтобы всякая операция с началом в начиналась только после того, как закончатся все операции, заканчивающиеся на этом, –том, этапе. При этом для простоты мы будем считать, что есть единственный этап, в который не входит ни одна операция (начало цикла ), и единственный этап, из которого не выходит ни одна операция (окончание цикла ). В этих условиях требуется определить минимальное время окончания всех операций производственного цикла, а также интервал времени, в течение которого мы можем выполнять операции с тем, чтобы не увеличить .

Начнем с наглядного представления имеющихся операций в виде так называемого сетевого графа, то есть множества точек на плоскости, каждая из которых призвана изображать тот или иной этап производственного цикла, и векторов, соединяющих вершины и , если имеется операция вида продолжительности . Пример такого сетевого графа изображен на рисунке.

2 5

4

6

В этом примере имеется этапов и 8 операций. А именно, операция продолжительностью 3 дня, операция продолжительностью 1 день, операция продолжительностью 2 дня, операция продолжительностью 5 дней, операция продолжительностью 5 дней, операция продолжительностью 1 день, операция продолжительностью 2 дня, операция продолжительностью дней 4 дня.

Путь сетевого графа есть произвольный упорядоченный набор вершин , , , …, и операций вида , , … . Изображать путь удобно в виде следующего связного графа:

.

В нашем примере всего имеется четверо путей:

,

,

.

Критическим путем называется путь, все операции которого нельзя отложить с тем, чтобы не увеличить общую продолжительность выполнения операций всего технологического цикла. Таким образом, суммарное время выполнения операций любого критического пути равно . Чтобы найти критические пути, определим для каждого этапа раннее начало всех операций вида и позднее окончание всех операций вида . Приведем расчетные формулы. Для полагаем . Для полагаем . Для остальных вершин рассчитываем соответствующие величины, используя рекуррентные формулы:

,

.

Примеры расчеты величин , будут даны ниже. Полным резервом операции называется величина

.

Свободным резервом операции называется величина

.

Свободный резерв ¾ это время, на которое можно отложить начало операции с тем, чтобы не затронуть начало выполнения любых других операций цикла. Полный резерв есть максимально возможный сдвиг начала операции с тем, чтобы не увеличить общее время завершения цикла, однако при этом сдвиге резервы каких—то последующих операций могут быть уменьшены или даже полностью исчерпаны. Операция называется критической, если ее полный резерв равен 0. Отметим, что все критические операции соединяют вершины, для которых выполнены соотношения , (обратное не верно). Теперь мы можем дать иное определение критического пути: это произвольный набор критических операций, которые последовательно соединяют начальный и конечный этап цикла.

Раннее начало операции есть . Раннее окончание . Позднее начало операции есть . Позднее окончание операции есть .

Рассмотрим теперь построение календарного графика сетевой модели. Пусть в дополнение к продолжительности выполнения операции известно, что на этой операции занято рабочих. Требуется построить график потребности в рабочей силе для произвольного графика выполнения операций цикла. Обычно рассматривают два графика выполнения операций: 1) когда начало операций вида равно (ранние сроки выполнения операций) 2) когда начало операций вида сдвигают на величину свободного резерва (поздние сроки выполнения операций). В принципе, можно поставить творческую задачу: так спланировать начало некритических операций, чтобы максимальная потребность в рабочей силе была наименьшей, или чтобы потребность в рабочей силе была максимально равномерной по времени выполнения всего технологического цикла. При этом какие—то некритические операции удобно сдвигать не только на величину свободного резерва, но и, быть может, на величину их полного резерва. Эта задача, однако, не имеет простого алгоритмического решения, и поэтому мы не будем ее здесь в общем виде рассматривать.

Задача 7.1. Сетевая модель состоит из 9 этапов и включает в себя следующие операции:

Операция	1®2	1®3	1®4	2®5	3®5	4®5	2®6
Продолжительность
Число рабочих, занятых на операции

Операция	4®8	5®6	5®7	5®8	6®9	7®9	8®9
Продолжительность
Число рабочих, занятых на операции

Постройте сетевой граф модели. Для каждого i определите раннее начало операций , стартующих на i -м этапе, и позднее окончание операций [ i ], заканчивающихся на i -м этапе. Для каждой операции вида определите раннее и позднее начало операции, и ранее и позднее окончание операции, а также полный и свободный резерв операции. Выпишете все критические пути. Постройте календарный график потребности в рабочей силе, сначала исходя из ранних сроков начала операций, а затем - из поздних сроков начала операций.