Постановка задачи. Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на интервале [a,b]

Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на интервале [a,b]

f (x_n)=y_n, f(x₁)=y₁,..., f(x_n)=y_n (6.1)
в n +1 точках x₀, x₁, x₂,...,x_n.

Под интерполяцией понимается нахождение по таблице значений функции её аналитического описания, позволяющего вычислять значение этой функции от аргумента отсутствующего в таблице, т.е. так называемое чтение "между" строк. Задача сводится к построению функции f(x) (интерполирующей функции), принадлежащей известному классу функций и принимающей в точках x₀, x₁, x₂,..., x_n (узлах интерполяции) те же значения, что и функция

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁,..., f(x_n)=y_n,

а в остальных точках отрезка [a,b] приближённо представляющая функцию f(x) с какой-то степенью точности.

При этом допускают, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нём в каждой точке конечные производные любого порядка, а узлы интерполирования отличны друг от друга.

Через точки x₀, x₁, x₂ ,..., x_n можно провести бесчисленное множество кривых (рис. 6.1). Следовательно, задача отыскания функции f(x) по её значениям, поставленная таким образом, является неопределённой: можно построить бесчисленное множество функций принимающих при x₀, x₁, x₂ ,..., x_n, значение y₀, y₁, y₂,..., y_n

Рис. 6.1

Чтобы получить единственную f(x) наложим на неё дополнительные ограничения, а именно, в качестве f(x) используем полином P(x) степени на единицу меньше числа заданных значений n +1.