Любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству

(21)

являются ортогональными. Путём соответствующего выбора А (амплитудный множитель) можно добиться, чтобы норма каждого сигнала была единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить любой сигнал с ограниченным спектром в обобщённый ряд Фурье.

(21) можно разложить в ряд Фурье

, где

Здесь

D_k – мгновенное значение сигнала f(t) в k – ой отсчётной точке

Тогда

Интеграл берётся

Поэтому

Введём:

пока ещё сумма функций.

Сравним две формулы

или

Интегралы равны только для определённых моментов времени . При этом мы будем знать мгновенное значение сигнала. Т.е. зная f(t) в некоторых точках можно восстановить весь сигнал.

Поскольку интегралы одинаковы, можно записать

Обозначим , получим

и, следовательно,

меняем в сумме k на -k, получим

Отсюда видно, что f(t) представима счётным значением f_k в конечных точках.

Заключение теоремы:

Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше , может быть полностью восстановлен, если известно отсчётное значение этого сигнала, взятого через равные промежутки времени 1/2f_C.