Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов ряда (17.1)

Рассмотрим сумму первых членов ряда (17.1)

Из условия (17.3) следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно сумма положительна и возрастает с возрастанием .

Запишем теперь эту сумму так:

В силу условия (17.3) каждая скобка положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число меньше чем , то есть .

Таким образом мы установили, что при возрастании возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует что имеет предел :

,

причем:

однако сходимость ряда еще не доказана.

Мы доказали только, что последовательность имеет пределом число . Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу .

Рассмотрим для этого сумму первых членов ряда (17.1).

Так как по условию (17.2) , то следовательно,

Тем самым мы доказали что, , как при четном , так и при нечетном . Следовательно ряд (17.1) сходится.

Пример 17.1 Знакочередующийся ряд