2015-03-07
459
Матрица 
называется противоположной матрице А.
Умножение матриц.
Пусть дана матрица А размера m ´ n и матрица В размера n ´ p.
Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:
С = А · В, где С есть матрица размера m ´ p,
,
если 
, где (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, p).
Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i -той строке и j -том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i -той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j –го столбца второй и полученные произведения сложить.
Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.
Пример 3 
Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону
|
|
|
,
в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.
В частных случаях, когда 
матрицы называются перестановочными.
Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем
А Е = Е А = А.
Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.
