Формула Ньютона-Лейбница. Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями - интегральные суммы имеют громоздкий характер и их трудно преобразовать к виду

Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями - интегральные суммы имеют громоздкий характер и их трудно преобразовать к виду удобному для вычисления интегралов. По крайней мере, нет общих методов, как это сделать. Каждая задача решалась индивидуально, пока Ньютону и Лейбницу не удалось показать, что вычисление определенного интеграла от функции можно свести к отысканию ее первообразной.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ] и функция F(x) является ее некоторой первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница:

, т.е. интеграл от дифференциала функции F(x) равен приращению этой функции на промежутке интегрирования.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию F(x) (неопределенный интеграл).

Замечание. Константа С в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию : F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a).

4) Рассчитываем разность F(b)-F(a), то есть, находим число.

Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.

Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования [-5;-2] не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках отрезка [-2;3] не существует тангенса.

Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

Из вышесказанного следует: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования.

Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл.

Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.