Поверхностные интегралы 2-го рода

Пусть в некоторой области задано векторное поле

a = a_x i + a_y j + a_z k

и какая-либо двухсторонняя поверхность S. Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки D S_i. На каждой площадке выберем произвольную точку P_i и составим интегральную сумму:

. (6.1)

Если существует предел такой суммы при D S_i ®0, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается символом

или ,

где d s = n ds.

Поскольку единичный вектор нормали имеет своими координатами направляющиеся косинусы n ={cosa, cosb, cosg}, то

. (6.2)

Этот интеграл представляет собой не что иное, как поверхностный интеграл
1-го рода. Таким образом, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода можно свести к вычислению поверхностных интегралов 1-го рода. Однако, что в отличие от поверхностных интегралов 1-го рода интегралы 2-го рода зависят от выбора стороны поверхности. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а соответственно и знак интеграла.

Рассмотрим интеграл

.

Пусть уравнение поверхности имеет вид z =j(x,y) и положительной стороной этой поверхности будем считать ту, нормаль которой образует с осью O z острый угол. Тогда

cosg ds = dxdy.

Поэтому рассматриваемый интеграл можно записать в виде

.

Заменяя z на j(x,y), придем к двойному интегралу

,

где S_xy – проекция поверхности S на плоскость xOy.

Аналогично рассматриваются оставшиеся два интеграла. В результате, вычисление поверхностного интеграл 2-го рода сводится к вычислению трех двойных интегралов:

. (6.3)

Знак "плюс" здесь выбирается в том случае, если интегрирование происходит по той стороне поверхности, которая обращена в сторону положительных направлений осей Ox, Oy и Oz. Если это не так, то нужно взять знак "минус" у соответствующего интеграла.

Замечание. Следует иметь в виду, что, поверхностные интегралы 2-го рода (в соответствии с формулой (6.3)) часто записывают в виде

, (6.4)

где P=P (x,y,z), Q=Q (x,y,z), R=R (x,y,z) – какие-то функции, заданные на поверхности S.

Пример 6.1. Вычислить поток векторного поля a = y j через верхнюю часть плоскости x+y+z =2, лежащей в первом октанте (см. рис. 6.3).

Рис. 6.3

Решение. Поскольку a_x =0, a_y = y, a_z =0, то

.

Так как уравнение плоскости имеет вид y =2 –x–z и нормаль к поверхности образует с осью Oy острый угол (это означает, что cosb>0 и поэтому перед интегралом нужно выбрать знак "+"), то

.

Далее, переходя к повторным интегралам, получим

.

Пример 6.2. Вычислить поток векторного поля a = z k через внешнюю сторону сферы S: x ² +y ² +z ²=1.

Решение. Поскольку a_x=a_y =0, a_z=z, то

Рис. 6.5

.

Здесь z нельзя выразить однозначной функцией от x и y для всей поверхности интегрирования. Разобьем поверхность на две части, верхнюю S' и нижнюю S'':

и .

Тогда

.

Перейдем к двойным интегралам. Так как S' – верхняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz острый угол, то

,

где D – круг x ²+ y ²£1. S'' – нижняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz тупой угол, то

,

где D – тот же круг. В результате получаем

.

Перейдя в полярную систему координат, получим

.

Вопрос. Чему равнялся бы поток, если бы a = z ² k.

Пример 6.3. Вычислить поток векторного поля a =2 x i – y j через часть поверхности цилиндра S: x ² +y ²= R ², x ³0, y ³0, 0£ z £ H, в направлении внешней нормали (см. рис. 6.5).

Решение. Поскольку a_x= 2 x, a_y =– y, a_z= 0, то

.

Поскольку S_yz является прямоугольником размера R ´ H и S_xz – точно такой же прямоугольник, то оба интеграла в последнем выражении являются одинаковыми. Поэтому можно написать

.