Примеры.
1°. .
2°. =
.
3°. = ….
4°. = … .
Замена ; .
…= – (интеграл от дифференциального бинома).
В°. Очень полезными являются две следующие формулы:
1°. и, следовательно, интегрируя получаем:
.
Пример. = ….
2°.
+
и интегрируя, получаем:
= ;
при взятии последнего интеграла полезно знать, что: = .
Рассматриваются интегралы вида:
и , (*)
где и – многочлены 3й и 4й степени соответственно, с вещественными коэффициентами и не имеющие кратных корней. В случае кратных корней радикалы упрощаются и сводятся к ранее рассмотренным иррациональностям.
Эти интегралы, как правило, не интегрируются в элементарных функциях и называются эллиптическими .
Однако:
1°. = =
= .
2°. Легко видеть, что:.
Два рассмотренных интеграла, хотя и являются интегралами вида (*) выражаются через элементарные функции. Такие интегралы называются псевдоэллиптическими .
А°. Для :
Сделаем замену:
следовательно:
Б°. Для интегрирования запишем
.
В получившихся квадратных трехчленах избавимся от членов содержащих первые степени переменной х.
а) При сделаем замену Þ .
б) При сделаем замену .
Тогда ,
.
Неизвестные параметры и найдем из условия равенства нулю коэффициентов при первых степенях переменной :
и .
Из системы уравнений: находим и .
Тогда: и .
Теперь представим: в виде =
= = .
Интеграл от первого слагаемого легко берется
В°. Рассмотрим интеграл: . (**)
Функцию запишем в виде .
Запишем
Функция четная и, следовательно ,
а функция нечетная и поэтому .
Тогда интеграл (**) разбивается в сумму двух интегралов:
I. . Замена сводит этот интеграл, к ранее рассмотренным интегралам от квадратичных иррациональностей.
II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
Приведение интеграла к каноническому виду зависит от знаков констант А, m, .
Есть шесть различных вариантов распределения знаков этих констант:
1) + – –; 2) + – +; 3) + + +; 4) – – –; 5) – – +; 6) – + +.
Введем обозначения:
и рассмотрим каждый из шести выделенных случаев.
1°. . Область определения подынтегрального выражения
.
a) ; Производя замену переменной интегрирования получаем:
и .
Здесь . Последний интеграл записан уже в каноническом виде.
б) ; Сделаем замену переменной . Отсюда:
.
Получен канонический вид интеграла.
.
2°. . Область определения подынтегрального выражения
.
Замена: ; ; .
И, следовательно: =
= = .
Тогда: .
Вновь получен канонический вид интеграла.
3°. . Замена: ; .
= и получаем:
– канонический вид интеграла.
4°. . Область определения: .
Производя замену , получим:
; ; .
Теперь: =
= = .
= . Это вновь канонический вид исходного интеграла.
5°. . Область определения подынтегрального выражения
.
Выполним замену переменной: ; .
= = .
= . Это снова канонический вид исходного интеграла.
6°. . Данное выражение всегда отрицательно и, следовательно, подынтегральная функция не определена.
*. В итоге мы получили канонический вид эллиптического интеграла.