Свойства пределов функций

Тема: Вычисление пределов функций

О: Число b называется пределом функции f(x) при х→а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое малое положительное число d(ε), что для всех х из d-окрестности

т. а (а-d; а+d) или |x-а|<d выполняется условие |f(x–в|<ε и записывается: lim f(x)=в

x→а

Геометрический смысл предела функции в точке

Пусть lim f(x)=А, это означает, что

x→х₀

, при условии |x-х₀|<d, выполняется | f(x) –А| < ε, т.е.

Как только значения аргумента х→х₀ попадают в d-окрестность точки х_0,т.е. (х₀-d; х₀+d) (или |x-х₀|<d), то соответствующие значения функции f(x) попадают в ε-окрестность.точки А, т.е.(А-ε;А+ε)(или | f(x) –А| < ε )

Свойства пределов функций:

1) предел от числа – равен самому числу : lim с=с

x→а

2) функция не может иметь двух пределов в одной точке

(напремер, у=1/х в т.х=0)

lim (1/x)= + ¥ lim (1/x)= - ¥, в т.х=0 предел для1,х не сущ

x→+0 x→-0

3) если каждая из функций f(x) и g(x) имеют предел в точке а, то в этой точке существуют пределы их алгебраической (±) суммы, произведения и частного, при этом числовой множитель выносится за знак предела, т.е.