2015-03-07
3121
Функция 
, определяемая формулой (2.14), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать 
, то функция 
дает профиль струны в момент 
; фиксируя 
, получим функцию 
, дающую процесс движения точки 
. Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке 
в момент 
, движется со скоростью 
в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая 
, 
. В этой подвижной системе координат функция 
будет определяться формулой 
, и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет неизменный профиль 
, перемещающийся вправо (в положительном направлении оси 
) со скоростью (распространяющуюся или бегущую волну). Функция 
представляет собой волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси ) со скоростью . Таким образом, общее решение (2.14) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн 
, одна из которых распространяется направо со скоростью , а вторая – налево с той же скоростью. При этом,
|
|
|
, 
,
где
.
Решение (2.14) можно представить в виде суммы 
, где 
, (2.15)
. (2.16)
Если начальная скорость равна нулю (
), то отклонение 
есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией 
, равной половине начального отклонения. Если же 
, то 
представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью. Рассмотрим эти две ситуации графически.
1.Начальное отклонение заданно в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка 
. На рис. 2.5 даны последовательные положения струны через промежутки времени 
.
Рис. 2.5. Распространение колебаний на неограниченной прямой при изменении начального отклонения точек
2.Начальное отклонение 
0, а начальная скорость отлична от нуля только на отрезке 
, где она принимает постоянное значение 
: 
при 
, при 
и 
. В этом случае решением является функция 
. Вычислим функцию 
, выбрав при этом 
(рис. 2.6):
(2.17)
Рис. 2.6. Форма изменения начальной скорости точек струны
Решение есть разность правой и левой волн с профилем . Последовательные положения этих волн через промежутки времени 
изображены на рис. 2.7.
Рис. 2.7. Распространение колебаний на неограниченной прямой при изменении начальной скорости точек
Профиль струны для 
имеет форму трапеции, расширяющейся равномерно с течением времени. Если 
отлично от постоянной на , то измениться лишь профиль .
Пример. Решить уравнение:
(2.18)
при заданных начальных условиях:
, 
. (2.19)
Воспользуемся формулой Даламбера (2.14). Получим:
|
|
|
. (2.20)
