Решение. Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р

1. если p 1, ,

2. если p = 1, ,

Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:

если р > 1, то , т.е. интеграл сходится,

если р < 1, то , т.е. интеграл расходится,

если р = 1, то интеграл расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] за исключением точки с Î [a,b]. Рассмотрим три случая.

1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f (x) с точкой разрыва на верхнем пределе определяется так

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

2. Функция терпит разрыв в точке а. Тогда по аналогии с предыдущим случаем интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так

Пример. Исследовать интеграл Здесь подынтегральная функция не существует в точке х = 0, поэтому

Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).

3. Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [a,b], т.е. a < c < b.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому