Глава 1. Числовые ряды

Основные определения теории числовых рядов. Пусть задана бесконечная числовая последовательность

u₁, u₂, u₃,..., u_n... (1.1)

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком плюс т.е. выражение

u₁ + u₂ + u₃ +... + u_n +... =. (1.2)

числа u₁, u₂, u₃,..., u_n,... называются членами ряда и являются элементами заданной последовательности (1.1).

Например, числовой ряд

(1.3)

имеет общий член u_n =

Сходимость и сумма ряда. Частичной суммой S_n называется сумма первых n членов ряда, т.е. S = u₁ + u₂ + u₃ ...+ u_n.

Частичные суммы ряда образуют новую последовательность - последовательность частичных сумм: S₁, S₂, S₃,..., S_n,.... Если существует конечный предел последовательности частичных сумм = S < ¥, то ряд (1.2) называется сходящимся, а число S - суммой ряда. В этом случае пишут

Если предел последовательности частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд (1.2) называется расходящимся.

Пример. Определить сходимость ряда

Решение. Вначале запишем частичную сумму заданного ряда

Рассмотрим предел частичных сумм

Следовательно, ряд (4.35) сходится и его сумма равна 1.

Пример. Дан числовой ряд

исследовать сходимость ряда.