Глава 2. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимися рядами называются ряды вида

u₁ - u₂ + u₃ - u₄ +......, (2.1)

где все u_n > 0.

Сходимость таких рядов исследуется по теореме Лейбница: если в знакочередующемся ряде u₁ - u₂ + u₃ - u₄ +......, u_n > 0 все члены таковы, что u₁ > u₂ > u₃ >u₄ .... и , то ряд (19) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда u₁.

Доказательство. Возьмем сумму четного числа первых членов S _2m, которая положительна.

S_2m = (u₁ - u₂ ) + (u₃ - u₄ ) +......+ (u_2m-1 – u_2m) > 0,

так как выражение в каждой скобке больше нуля.

S_2m возрастает при росте m, т.к. S_2m = S_2(m-1) + (u_2m-1 – u_2m) > S_2(m-1).

С другой стороны

S_2m = u₁ - (u₂ - u₃ ) - (u₄ – u₅)......- (u_2m-2 - u_2m-1) – u_2m < u₁.

т. е. при росте m S_2m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, имеет предел S= = .

Нечетные суммы будут иметь тот же предел S_2m+1 = S_2m + u_2m+1

+ = S + 0 = S.

.Четные и нечетные суммы ряда имеют тот же предел, следовательно, ряд сходится. Теорема доказана.

По знакочередующемуся ряду можно построить соответствующий ему положительный ряд u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u_n +.... Если такой положительный ряд сходится, то знакочередующийся ряд называют абсолютно сходящимся, в противном случае ряд называют условно сходящимся. В абсолютно сходящемся ряде члены ряда можно переставлять без потери сходимости, в условно сходящемся ряде перестановка членов ряда запрещена, т.к. она может привести к потере сходимости.