Производная по направлению и градиент

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной : , то производная сложной функции вычисляется по формуле . Если совпадает с одним из аргументов, например , то производная , называемая «полной» производной функции по , вычисляется по формуле

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных : ,…, , то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

………………………….………………..,

В частности, для функции справедливы формулы:

, где ;

, , где , .

6.56 Найти если

а) , где ;

б) , где ;

в) , где ;

г) , где .

6.57 Найти , если

а ) , где ;

б ) , где .

6.58 Найти и , если

а) , где ;

б) , где ;

в) , где ; г) , где .

6.59 Найти и , если

а) , где ;

б) где .

6.60 Найти , если

а) где ;

б) где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям: а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

6.62 Предполагая, что произвольная функция дифференцируема достаточное число раз, проверить следующие равенства:

а) , если ;

б) , если ;

в) , если ;

г) , если .

Если уравнение , где - дифференцируемая функция по переменным , определяет как функцию независимых переменных , то частные производные этой неявной функции вычисляются по формулам: , ,…, при условии, что .

В частности, для функции , заданной неявно уравнением справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением

справедливы формулы: , , при условии .

Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную для функций , заданных неявно:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а) если ;

б) если .

6.65 Найти частные производные для функций заданных неявно:

а) ; б) ;

в) ; г)

6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке , если:

а) ; б) .

6.67 Найти дифференциал и производную функции заданной неявно, если:

а) ; б) ;

в) ; г)

Если - дифференцируемая функция переменных , то производная по направлению вектора в точке вычисляется по формуле , где - координаты единичного вектора , .

Градиентом дифференцируемой функции называется вектор и обозначается .

Скорость наибольшего изменения функции по направлению в точке достигает наибольшего значения, если направление совпадает с направлением , т.е. .

В частности, для функции производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где - направляющие косинусы вектора .

6.68 Найти производную по направлению вектора , градиент и его величину | | в заданной точке для следующих функций:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

6.69 Найти угол между градиентами функции в точках и .

6.70 Найти угол между градиентами функций и в точке .

6.71 Найти в точке , если:

а) , ; б) , .

§5. Некоторые приложения частных производных.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

а уравнение нормали – вид .

В случае задания поверхности неявным уравнением : - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и

- уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ; б) ;

в) ;

г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ;

б) ; в) ;

г) .

6.74 Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости

6.75 Для поверхности найти уравнение нормали, параллельной прямой

Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и , оно содержит и отрезок .

Функция , определённая на выпуклом множестве называется выпуклой вверх, если для всех точек , где , и для любого выполняется неравенство и выпуклой вниз, если .

Матрица называется матрицей Гессе функции в точке .

Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функция является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если при всех ; 2) выпуклой вверх, если при всех . Если на множестве матрица Гессе функции знакопеременна, то на этом множестве выпуклой не является.

Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Частные эластичности функции вычисляются по формулам: , . Частные эластичности , являются мерами реагирования переменной на изменение переменных и , и показывают приближённый процентный прирост при изменении и на один процент, соответственно.

Под производственной функцией понимается функция , независимые переменные которой имеют смысл объёмов используемых ресурсов, а зависимая переменная – объёма выпускаемой продукции.

Предельной по переменной для называется величина , средней – величина . Буква - сокращение от слова (предельный), буква - сокращение от слова (средний).

Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов, - объём трудовых ресурсов, - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности и функций в указанных точках :

а) , ; б) , .

6.78 Для заданных значений и найти: а) среднюю и предельную производительности труда; б) среднюю и предельную фондоотдачу; в) эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: