Формула Ньютона-Лейбница

,

где F(x) -одна из первообразных f(x).

Рассмотрим , он является одной из первообразных f(x), т.е. , где C₀ – конкретное значение const. Найдем C₀. Подставим вместо верхнего предела x=a Þ Þ C₀=-F(a) Þ . Подставим вместо верхнего предела x=b Þ

Формула позволяет вычислять определенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона-Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д.

Пример:

.

.