Ранг матрицы

Мы видели, что линейные операторы можно представить матрицами. Одна и та же матрица может представлять в одних базисах один оператор, а в других базисах — другой. Можно доказать, что все такие операторы имеют один и тот же ранг. Поэтому корректно следующее определение.

Рангом матрицы называется ранг любого оператора, представляемого этой матрицей, т.е. размерность образа этого оператора.

Таким образом, если удастся найти какой–нибудь способ вычисления ранга матрицы, то ранг оператора можно будет определить по рангу его матрицы. Такой способ предлагается в следующем утверждении.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000).

Замечания.

1. Любые r (r = Rg ^ A) линейно независимых столбцов матрицы оператора являются координатными столбцами векторов, образующих базис в образе оператора. Они называются базисными. Остальные столбцы являются линейными комбинациями базисных столбцов.

2. Можно доказать, что максимальное количество линейно независимых строк матрицы также равно r.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований строк (метод Гаусса)

Пусть дан линейный оператор ^ A: Xn → Ym. Мы уже знаем, что в разных базисах этот оператор имеет различные матрицы. Однако у всех этих матриц один и тот же ранг (Rg ^ A = dim Img ^ A = r). По теореме ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов. Поэтому, чтобы определить ранг линейного оператора, удобно выбрать такую его матрицу, у которой число линейно независимых столбцов было очевидно. Эта цель достигается с помощью элементарных преобразований строк матрицы (и соответствующих преобразований базисов). Отметим, что преобразования строк матрицы соответствуют преобразованиям в Ym, а преобразования столбцов матрицы соответствуют преобразованиям в Xn.

С помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A так, чтобы в максимальном числе столбцов оказалось по одной единице (в разных строках у разных столбцов), а остальные элементы столбцов были бы нулями. Очевидно, что такие столбцы линейно независимы. Они называются базисными и их количество равно рангу преобразованной матрицы. Такая матрица называется редуцированной (или гауссовой) и обозначается Aред. Ее ранг равен рангу исходной матрицы A.

Утверждение. Элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейных соотношений между ее столбцами.

Из этого утверждения следует, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Матрицы A и B, получающиеся друг из друга элементарными преобразованиями строк, мы будем называть эквивалентными и обозначать A ~ B.

Таким образом, A ~ Aред и Rg A = Rg Aред.

Замечание. Кроме метода Гаусса, существуют и другие методы вычисления ранга матрицы (метод окаймляющих миноров и т.д.), однако только метод Гаусса позволяет использовать редуцированную матрицу для решения большинства задач линейной алгебры, например, при исследовании линейной зависимости векторов, нахождении разложения вектора по базису, при исследовании оператора по его матрице, решении систем линейных уравнений и нахождении собственных векторов операторов.