Смешанное произведение векторов, свойства, геометрический смысл смешанного произведения. Формула вычисления смешанного произведения

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

|A|=a1*b2*c3+a2*b3*c1+a3*b1*c2-a3*b2*c3-a1*b3*c2+a2*b1*c3

Свойства смешанного произведения векторов

Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

Vпарал = a · [b × c]

Геометрический смысл смешанного произведения. Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов: Vпир = 1/6|a · [b × c]|