Векторное произведение двух пространственных (трехмерных) векторов

Сейчас мы рассмотрим специфическую операцию над двумя пространственными векторами. Результатом этой операции будет вектор. Поэтому эта операция называется векторным произведением.

Аналогом этой операции в двумерном пространстве (для векторов плоскости) будет операция, совершаемая над одним вектором, а для 4-мерного пространства – это будет операция, совершаемая над 3-мя векторами.

Определение векторного умножения довольно громоздко, доказательство его свойств весьма трудно, однако формула для координат векторного произведения получается изящной. Все это производит впечатление фокуса. Объяснение «фокуса» в «попятном» изложении материала (как в киноленте, прокручиваемой назад). Более естественным является понятие смешанного произведения трех пространственных векторов, с него и нужно было бы начинать изложение. Однако сам термин смешанное произведение («смесь» векторного и скалярного произведений) и традиция заставляют нас излагать этот материал в таком противоестественном порядке.

Рассмотрим три вектора в пространстве. Говорят, что эти векторы компланарны, если, будучи приведенными в общее начало, они окажутся в одной плоскости.

Тройкой векторов будем называть набор, состоящий из трех векторов, взятых в определенном порядке. Например, тройки различны, поскольку различаются порядком следования, хотя и состоят из одних и тех же векторов.

Тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если, совместив начала векторов в одной точке и наблюдая из конца вектора плоскость, "натянутую" на векторы , обнаруживаем, что вращение вектора по кратчайшему пути до совмещения с линией вектора должно происходить против часовой стрелки. Если в указанных выше условиях вращение вектора по кратчайшему пути до совмещения с линией вектора должно происходить по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Разведенные пальцы правой руки, взятые в порядке "большой", "указательный", "средний", образуют правую тройку (соответственная тройка пальцев левой руки – левая).

Тройку компланарных векторов будем считать одновременно правой и левой.
Замечание.

Мы везде предполагаем, что декартова координатная система в пространстве правая.

Рассмотрим два вектора в пространстве, обозначим буквой угол между ними. Векторное произведение (или ) двух пространственных векторов и – это вектор , обладающий следующими свойствами:

1) ,

т.е. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) вектор перпендикулярен вектору и вектору ,

т.е. перпендикулярен плоскости этого параллелограмма (поэтому · =0, · =0);

3) векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Мы привели рисунок для случая неколлинеарных векторов и .

Если векторы и коллинеарны, то , и поэтому будет нулевымвектором. В частности, для любого вектора .

Векторное умножение обладает следующими свойствами:

,

,

.

Эти свойства выполнены для любых векторов и для любого числа .

Первые два свойства легко доказать. Последнее свойство трудно доказать, опираясь только на геометрическое определение векторного произведения, которое мы дали. Мы докажем это свойство позже.