Пример. Точка C является серединой отрезка AB тогда, и только тогда, когда C =

Точка C является серединой отрезка AB тогда, и только тогда, когда _C = .

Замечание (О делении в отношении «часть к части»).

Существует и другой способ определения деления отрезка в отношении, мы его для определенности назовем «делением часть к части»:

Точка С делит отрезок AB в «отношении часть к части» m (m Î R), если:

1) Точка C лежит на прямой AB;

2) |AC| = |m| |CB|;

3) m ³ 0, если точка C лежит на отрезке [AB],

и m < 0, если точка C не лежит на отрезке [AB].

При таком определении:

m ≠ -1 и для точки B не определено «ношение часть к части» в котором она делит отрезок AB (то есть точка C не может совпадать с точкой B);

m < -1, если точки A и C лежат по разные стороны от точки B;

-1 < m < 0, если точки B и C лежат по разные стороны от точки A.

Для деления отрезка в «отношении часть к части» можно доказать следующую теорему: Точка C делит отрезок AB в «отношении часть к части» m тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = , где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.

Взаимосвязь двух определений деления в отношении отрезка отражена в следующей теореме: Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l, и делит этот отрезок в «отношении часть к части» m, тогда m = и l = .