Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия»

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника A (2;2), B (-2;-8), C (-6;-2).

Требуется составить уравнение высоты BD и определить острый угол между этой высотой и стороной BC.

Решение. Найдём уравнение стороны AC по формуле

или , где угловой коэффициент .

Уравнение высоты BD: , где и - координаты точки В. Здесь .

y +8=-2(x +2) или 2 x + y +12=0.

Запишем уравнение стороны BC и найдём : или

3 x +2 y +22=0, .

Тогда, поскольку угол DBC = должен быть острым,

и .

Задача 2. Найти проекцию т. M (-3;3;3) на прямую

Решение. Через т. М проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой. Точка пересечения этой плоскости с данной прямой и будет искомой точкой N.

Направляющий вектор прямой

.

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой:

-4(x + 3) + 2(y - 3) - 2(z - 3) = 0 или 2 x – y + z + 6 = 0. Теперь нужно найти точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости. Решаем методом Крамера.

.

Искомая точка N (-3;1;1).

Задача 3. Найти точку М пересечения прямой и плоскости 2 x + y + 7 z – 3 = 0.

Решение. Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений прямой и плоскости. Это удобно сделать так. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

Подставим выражение x, y, z через параметр t в уравнение плоскости:

2(3 t + 7) + (t + 3) -7(2 t + 1) – 3 = 0.

Откуда получаем t = 1, поэтому точка пересечения имеет координаты

x = 3 + 7 = 10, y = 1 + 3 = 4, z = -2 -1 = -3, т.е. М (10,4,3).

Кривые второго порядка 2

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 2

Эллипс 5

Вывод уравнения эллипса 5

Гипербола 7

Парабола 8

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 9