Шымкент - 2010

1 2 3 4 5 6 7

ӘОЖ 517.3

Академиялық инновациялық университетінің

Ғылыми кеңесі оқу- әдістемелік құралы ретінде бекіткен.

Пікір жазғандар:

Белес А.О. - физика-математика ғылымдарының кандидаты,

Академиялық инновациялық университеті доценті

Абенова М. - физика-математика ғылымдарының кандидаты,

Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ профессоры,

Бұл есептер жинағы жоғарғы оқу орындарының жоғарғы математика оқылатын мамандықтарға арналып жазылған. Жинақта келтiрiлген есептер күндiзгi, кешкi және сырттан оқу бөлiмдерiнде аналитикалық геометриядан практикалық сабақтар (аудиториялық, үй тапсырмасы, семестрлiк тапсырмалар) жүргiзуге жеткiлiктi.

Қ. Абдрахманов, Н.Касимова, Н.Бакирова

Анлитикалық геометрия. І-бөлім. Оқу-әдістемелік құрал. Оқу-әдістемелік құрал. 96 бет Шымкент 2010ж.

Алғы сөз

Жоғары оқу орындарында оқылатын жоғары математика курсы, алгебра, аналитикалық геометриядан басталады. Аналитикалық геометрияның мазмұны: векторлық алгебра элементтерi, жазықтықта және кеңiстiкте берiлген түзу мен жазықтық, екiншi реттi сызықтар мен беттерден тұрады. Олар негiзiнен тiк бұрышты координаталық жүйесiнде қарастырылады.

Ұсынылып отырған “Аналитикалық геометрия ” аналитикалық геометрияның классикалық курсының мазмұнына сай келедi. Ол жоғары оқу орындарының жоғары математиканы оқитын мамандықтарына арналған. Оқу құралы 5 тараудан тұрады, әр тарау параграфтарға бөлiнген.

Әр параграфта тақырыпқа тиiстi теориялық мәселелер қысқаша баяндалып, тиiстi формулалар берiлген. Теориялық мәселелердiң мазмұнын аша түсетін мысалдар келтiрiлiп, олар жан-жақты талданып шешiлген. Есептердің жалпы саны – 529. Теориялық мәселелердi талқылау, мысалдар шығару сызбаларымен жабдықталады. Параграф соңында тиiстi теориялық мәселелердi игергенiн анықтауға арналған сұрақтар мен студенттердiң өз бетiмен шешуiне арналған есептер жинағы берiлген.

I ТАРАУ. ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРI.

§1. Векторларды қосу, азайту және санға көбейту.

Оң бағыты көрсетiлген түзу ось делiнедi. Осьтiң кез келген екi нүктемен шектелген бөлiгi кесiндi болады. Оны түрiнде белгiленедi. Егер кесіндінің ұштарының берілген реті есепке алынатын болса, кесіндісі бағытталған кесінді деп аталады

Математика, физика, техникада қолданылатын шамалар екi топқа бөлiнедi. Бiрiншi топқа өзiнiң сан мәнiмен толық анықталатын шамалар, екiншi топқа толық анықтау үшiн сан мәнiмен қатар бағыты қажет болатын шамалар жатады. Олардың бiрiншiсi скалярлық, екiншiсiн векторлық шамалар дейдi. Геометрияда векторлық шамаларды бағытталған кесiндiлермен кескiндейдi.

Сонымен, геометриялық вектор қай ұшы бастапқы, қай ұшы соңғы нүктесi екенi көрсетiлген кесiндi. Векторлардың бастапқы нүктесi – оның басы, соңғы нүктесi – ұшы делiнедi және бағыты басынан ұшына қарай алынады. Оны екi әрiппен былайша немесе бiр әрiппен былайша ,… белгiлейдi. Сызбада вектордың ұшына стрелка қойылады.

Басы мен ұшы беттескен вектор нөлдiк вектор делiнедi де, арқылы белгiленедi.

Бiр түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар не бағыттас , не қарама-қарсы бағытта болады.

векторларының ұзындығы немесе модулi деп, оны кескiндейтiн АВ кесiндiсiнiң ұзындығын айтады және оны немесе жәй ғана АВ арқылы белгiлейдi.

ұзындығы бiрге тең векторды бiрлiк вектор дейдi. Нөлдiк вектордың ұзындығы нөлге тең болады. Ол кез келген вектормен коллинеар болады.

Векторлар тең делiнедi, егерде олардың бағыттары бiрдей, ұзындықтары тең болса:

Кез келген векторларды кез келген нүктеден өлшеп салуға болады.

векторын 0 нүктеден өлшеп салу немесе 0 нүктеге параллель жылжыту деп болатын векторын салу болып табылады, мұндай болатын М нүкте жалғыз-ақ болады.

Берiлген векторлардың қосындысы деп, төмендегiше салынатын: кезкелген О нүктеден векторын, оның ұшы A₁ нүктеден векторын, оның ұшынан векто-рын өлшеп салу процесiн соза отырып, ең соңында вектордың ұшы нүктеден векторын өлшеп салғанда, -дiң бас нүктесi басы, сонғы вектордың ұшы болатын векторын айта-ды (1-сызба), оны деп жазады. Егер О мен А_n нүктелерi беттессе, онда берiлген векторлардың қосындысы нөлдiк вектор болады.

А₁ А₂ О A_n A_n-1 A_n-2 1-сызба

Векторларды қосудың Бұл жалпы ережесiнен екi векторды қосудың ұшбұрыш әдiсi және параллелограмм әдiсi шығады.

Екi және векторларды ұшбұрыш әдiсiмен қосу үшiн векторларының ұшына вектордың басы дәл келетiндей етiп өлшеп салады. Сонда вектордың басын вектордың ұшына жалғайтын және соған қарай бағытталған вектор қосындысы вектор болады (2-сызба):

Параллелограмм әдiсiмен екi вектордың қосындысын салу үшін, ол векторлардың бастары беттесетiндей етiп бiр нүктеден оларды өлшеп салады (3-сызба). Сонда қабырғалары осы векторлар болатын параллелограмның ортақ нүктеден шығатын диагоналы берiлген векторлардың қосындысы болады:

В С В С В

A А D A 2- сызба 3- сызба 4- сызба

векторы мен векторының айырымы деп, -ға қосқанда шығатын векторын айтады және оны түрiнде белгiлейдi.

Екi векторлардың айырымын салу үшін, олардың бастары түйҚсетҚндей етiп өлшеп салынады (4 сызба). Сонда азайтқыш вектордың ұшын азайғыш вектордың ұшына жалғайтын және соған қарай бағытталған вектор сол екi вектордың айырымын кескiндейдi:

Вектор -ға - векторды қарама-қарсы вектор дейдi. мен қарама-қарсы вектор болады.

Векторларды қосудың мынадай қасиеттерi бар:

(1)

Вектор -ның a санына көбейтiндiсi деп, төмендегi екi шартты қанағаттандыратын 1-ден, , 2-ден, егер болса; егер болса. векторын айтады

Вектор мен санның көбейтiндiсiн деп белгiлейдi.

Вектор мен санның көбейтiндiсiнiң төмендегiдей қасиеттерi бар:

(2)

Екi және векторларының коллинеар болуының қажеттi және жеткiлiктi шарты (3) теңдiгi орындалатын нақты m санының табылуы болады.

Кез келген вектордың өзiнiң ұзындығына қатынасы, ол вектордың бiрлiк векторы немесе о рты делiнедi: , (4)

Ендi бiрнеше мысалдар қарастырайық.

1-мысал. АВСД параллелограмм, О – диагональдарының қиылысу нүктесi, Е мен F нүктелерi АВ мен АД-ның ортасы (5-сызба).

деп алып, параллелограмның қабырғалары мен диагональдарының

және

векторлары арқылы табыңдар.

5-сызба

Шешуi. Параллелограмның қарама қарсы қабырғасы тең және параллель болады. Векторды санға көбейту ережесi бойынша болады. Векторларды қосудың параллелограмм ережесi бойынша:

Векторлардың айырымының ережесi бойынша:

Векторларды өлшеп салу ережесi бойынша:

Қарама қарсы вектор болғандықтан:

Сол сияқты:

2-мысал. Жазықтықта

және

векторлары берiлген (6-сызба).

векторларын салыңдар.

6-сызба

Шешуi. Жазықтықтан кез келген О нүктесiн алып, сол нүктеден векторына параллель түзу жүргізіп оның бойына вектордың бағытында кесiндiсiн саламыз. Сонда болады. А₁ нүктеден векторына параллель жүргізіп оның бойына -ның бағытында кесiндi саламыз. Сонда болады. Ал, векторларды қосудың үшбұрыш әдiсi бойынша болып шығады. Дәл осы сияқты кесiндiлерiн салсақ, болады да, болып шығады.

3-мысал. Арасындағы бұрышы 60⁰, ұзындықтары 4 және 2-ге тең және векторлары берiлген. Осы векторлардың қосындысы мен айырымының ұзындықтарын табыңдар.

Шешуi. Жазықтықтың кез келген А нүктесiнен өзара 60⁰ бұрыш жасайтын екi түзу жүргізіп олардың бойына АВ=4, AD=2 (6-сызба) кесiндiлерiн салсақ, болар едi.

Оны параллелограмға дейiн толтырсақ, оның диагональдары болады.

Бұл векторлардың ұзындығы мен -ны табу салынған параллелограмның диагональдарын табу болып шығады. Оларды косинустар теоремасымен табуға болады:

Ал, бойынша:

Сонымен, болады екен.

4-мысал. Кез келген үшбұрыштың орта сызығы табанына параллель және оның жартысына тең болатынын дәлелдеңдер (7-сызба).

Шешуi. Үшбұрыштың бүйір қабырғаларының орталарын қосатын кесiндiнi, ол үшбұрыштың орта сызығы дейтiндiктен, EF орта сызығы болса, онда:

болады.

Ал, Сөйтiп,

Бұдан векторлардың коллинеар болу анықтамасы бойынша

Болады және векторлар тең болса, ұзындықтары да тең болатындықтан: Сонымен, , болады екен.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Түзу, сәуле, кесiндi деген не?

2. Бағытталған кесiндi деген не?

3. Ось деп ненi айтады?

4. Бiр түзудiң бойында жататын:

а) өзара бағыттас сәулелердiң,

b) қарама қарсы бағыттағы сәулелердiң

қимасы және бiрiгуi қандай фигура болады?

5. Бiр түзудiң бойында жататын әр түрлі үш нүкте кеңiстiкте қанша бағытты анықтайды?

6. Бiр түзуде жатпайтын әр түрлі үш нүкте кеңiстiкте қанша бағытты анықтайды?

7. Центрлi симметриялы сәулелер, кесiндiлер жазықтықта қалай орналасады?

8. Вектор дегенiмiз не?

9. Вектордың ұзындығы деп ненi айтады?

10. Қандай векторлар коллинеар деп аталады?

11. Қандай векторлар тең деп аталады?

12. Екi вектордың қосындысы, айырымы не болады?

13. Екi вектордың қосындысын табудың: а) үшбұрыш әдiсi,

b) параллелограмм әдiсi деген?

14. Екi вектордың айырымын қалай табады?

15. Екi вектордың коллинеар болу шарты қандай?

16. Векторды санға көбейту ережесi қандай? Векторды санға көбейткенде қандай вектор шығады?

17. Жазықтықтың кез келген үшеуi бiр түзу бойында жатпайтын 4 нүктесi қанша әр түрлі векторды анықтайды?

18. Орт деген не?

19. Векторларды қосу амалының қасиеттерi қандай?

20. Векторды санға көбейту амалының қандай қасиеттерi бар?

Жаттығу есептерi

1. Вектордың жәрдемiмен АВСД төртбұрыштың:

а) параллелограмм болу, б) трапеция болу шарттарын өрнектеңдер

2. Жазықтықта және векторлары берiлген. Осы екi вектордың, олар өзара:

1) коллинеар және бағыттас,

2) коллинеар, бiрақ бағыттас емес,

3) коллинеар емес болған кездегi қосындысы мен айырымын салыңдар.

3. Ұзындығы 5-ке тең векторы берiлген. Оған керi бағытталған ұзындығы 2-ге тең векторды салыңдар.

4. және векторлары коллинеар болу үшін және векторлары қандай шарттарды қанағаттандыруы қажет?

5. АВСД параллелограмм. Оның төбелерi:

1) қанша әр түрлі векторларды,

2) қанша коллинеар векторларды,

3) қанша тең векторларды анықтайды? Олар қайсы векторлар?

6. Коллинеар емес және векторлар берiлген. Мына векторларды салыңдар:

7. АВСД параллелограмм. Векторлардың қосындысын табыңдар:

1) мен , 2) мен , 3) мен .

8. АВСД параллелограмм, О-диагональдарының қиылысу нүктесi. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) . Векторларды табыңдар

9. мен векторлары қандай болғанда теңдiктер дұрыс болады:

1) , 2) , 3) , 4) , 5)

10. Нөл емес және векторлары қандай болғанда теңдiктер орындалады: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

11. Қабырғалары және болатын параллелограмды пайдаланып, сызбада мына теңдiктердiң дұрыстығын тексерiңдер:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

12. АВСDEF дұрыс алтыбұрыш. деп алып, векторларын мен арқылы өрнектеңдер.

13. АВСД параллелограмм. М – кеңiстiктеiң кез келген нүктесi. болатынын дәлелдеңдер.

14. мен қандай шартты қанағаттандырғанда олар арасындағы бұрыштың биссектрисасында жатады?

15. Коллинеар емес және векторлардың қосындысының ұзындығы, ол векторлардың екеуiнiң ұзындықтарынан кем болуы мүмкін бе?

16. АВС үшбұрышында болса, оның медианалары неге тең болады?

17. Параллелограмм берiлген. Оның жазықтығынан ол нүктенi параллелограмның төбелерiне жалғайтын векторлардың қосындысы нөлдiк вектор болатыг нүктенi табыңдар.

18. АВС үшбұрышында болса, онда биссектрисасы неге тең болады?