Берiлген базистегi вектор координаталары 1 страница

Бiр жазықтықта жататын немесе параллель жазықтықтарда жататын векторлар компланар векторлар деп аталады.

Векторлар жиыны (1) берiлсiн.

Мына өрнек: (2)

берiлген векторлар жиынының сызықтық комбинациясы деп аталады, ал - ол сызықтық комбинацияның коэффициенттерi деп аталады.

Векторлардың сызықтық комбинациясы оның барлық коэффициенттерi нөл болғанда ғана нөлге тең болатын болса, онда ол векторлар жиыны сызықтық тәуелсiз, ал ең болмағанда бiр коэффициентi нөлге тең емес болса да нөлге тең болатын болса сызықтық тәуелдi деп аталады.

Өзара коллинеар емес екi вектор жазықтықта, өзара компланар емес үшвектор кеңiстiкте сызықтық тәуелсiз болады.

Белгiлi ретте алынатын коллинеар емес екi вектор жазықтықтың, белгiлi ретте алынатын компланар емес үшвектор кеңiстiктiң базисi деп аталады.

Егер базистiк векторлар өзара қос-қостан перпендикуляр болса және ұзындықтары 1-ге тең болса, ондай базистер ортонормаланған немесе тiкбұрышты базис деп аталады. Әдетте тiкбұрышты базистiк векторлар кеңiстiкте арқылы, жазықтықта арқылы белгiленедi.

Кеңiстiктiң кез келген векторы базистiк векторларға тек бiр түрде жiктеледi: (3) Осы жiктелудегi векторының коэффициенттерi

базисте және векторлар берiлсiн, онда:

- егер векторлар тең болса, онда сәйкес координаталары да тең болады:

(4)

- егер векторлар қосылса (алынса), онда олардың сәйкес координаталары да қосылады (алынады): (5)

- егер вектор бiр санға көбейтiлсе, онда оның барлық координатасы сол санға көбейтiледi: (6)

- егер векторлар коллинеар болса, онда олардың сәйкес координаталары пропорциональ болады: (7)

Бұл айтылған тұжырымдар жазықтықта берiлген векторлар үшін де дұрыс. Бұл кезде вектордың тек екi координатасы болады.

Вектордың координаталарын табу үшін ол векторды базистiк векторларға жiктеу керек.

Мысалдар қарастырайық.

1 -мысал. Базистiк вектордың координаталарын табыңдар.

Шешуi. Базистiк векторлар берiлсiн. Онда:

деп жазуға болады. Сонда вектор координатасының анықтаммасы бойынша:

болады.

2 -мысал. ABCD параллелограмм, О-диагональдарының қиылысу нүктесi.

мен

-ны базис ретiнде алып, параллелограмның қабырғалары мен диагональдары кескiндейтiн векторлардың координаталарын табыңдар.

Шешуi. базистiк векторлар болсын. Бұл базис (8-сызба) тiкбұрышты емес, өйткенi базистiк векторлар арасындағы бұрыш <BOC тiк емес. Параллелограмның қабырғалары бiрiн-бiрi қақ бөлетiндiктен және базистiк векторлардың координаталары болатындықтан . Векторларды бiр-бiрiнен шегеру ережесi бойынша болатындықтан -ның координаталары мен -ның сәйкес координаталарының айырымына тең болады:

Тең векторлардың координаталары да тең болатындықтан

болады. Ал, . Бұларға қарама қарсы вектордың координаталарының таңбасы да керi ауысады:

болады.

3 -мысал. ABCDEF дұрыс алтыбұрыш. Оған АВ және AF қабырғаларын базистiк векторлар ретiнде алып, оның қабырғалары және А нүктеден шығатын диагональдары кескiндейтiн векторлардың координаталарын табыңдар (9-сызба).

Шешуi. Фигура дұрыс алтыбұрыш болғандықтан AF=OE=CD=BO; AB=OC=ED=FO болады. Сондықтан олардың координаталары да тең болады:

Ал,

-дан

Бұларға қарама қарсы векторлардың координаталары:

болады.

4-мысал. Кубтың бiр төбеден шығатын қырларын базистiк векторлар үшін алып, оның диагональдары кескiндейтiн векторлардың координаталарын табыңдар (10-сызба).

10-сызба

Шешуi. Кубтың В төбесiнен шығатын қырларын базистiк векторлар үшін алайық: болсын, онда: болар едi. Сонда:

Ал,

Қосынды векторлардың координаталары қосылғыш векторлардың сәйкес координаталарының қосындысына тең болатындықтан:

5 -мысал. Жазықтықта координаталары арқылы векторлар берiлген. Бұл векторлардың өзара орналасу тәртiбiн анықтап, олардың қосындысының, айырымының координаталарын табыңдар.

Шешуi. мен сәйкес координаталары пропорционал:

Сондықтан, олар коллинеар және . векторы оларға коллинеар емес. Векторлар координаталарының қасиетi бойынша:

6-мысал. векторлары сызықтық тәуелдi ме, жоқ әлде сызықтық тәуелсiз бе?

Шешуi. Егер Бұл векторлар сызықтық тәуелдi болса, онда қатарынан нөлге тең емес сандары табылып: (8)

шарты орындалуы керек.

Мұны вектор координаталарының қасиетiне сүйенiп, координаталық түрде жазсақ, -ға қарағанда мынандай теңдеулер жүйесi шығады:

(9) Бұл бiртектi теңдеулер жүйесi болғандықтан, оның нөлден өзгеше шешуi болуы үшін, оның анықтауышы нөлге тең болуы керек. Тексерейiк: Демек, (9)-дiң нөлден өзгеше де шешулерi болады. Сондықтан векторлардың коэффициент-терi қатарынан нөл болмаса да, олардың сызықтық комбинациясы нөлге айналады. Олай болса, олар сызықтық тәуелдi векторлар.

7-мысал. төрт вектордың сызықтық тәуелділігін өрнектеңдер.

Шешуi. Үш өлшемдi кеңiстiкте үштен артық тұратын вектордан тұратын векторлар жүйесi сызықтық тәуелдi болады. Ол тәуелдiлiк былайша өрнектелсiн: (*1)

Бұдан координаталық күйге көшсек:

(*2)

Соңғы екi теңдеудiң бiрiншiсiн 7-ге, екiншiсiн 5-ке көбейтiп қосып, оны бiрiншi теңдеумен бiрге шешсек: шығады, бұдан шығады. Мұны (*2)-ге қойсақ, болады. Бұларды (*1)-ге қойсақ: болады, бұдан: .

Мiне, осы iздеген тәуелдiлiк болады.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Компланар векторлар дегенiмiз не?

2. Векторлар жиынының сызықтық тәуелдiлiгi мен тәуелсiздiгi қалайша тұжырымдалады?

3. Екi вектордың сызықтық тәуелдi және тәуелсiз болуының қажеттi және жеткiлiктi шарты қандай?

4. Үш вектордың сызықтық тәуелдi және тәуелсiз болуының қажеттi және жеткiлiктi шарты қандай?

5. Жазықтықтың, кеңiстiктiң базисi деп ненi айтады?

6. Тiк бұрышты базис деген не?

7. Оң базис пен сол базистiң айырмашылығы қандай?

8. Вектордың берiлген базистегi координаталары деп ненi айтады?

9. Вектор координаталарының қасиеттерi қандай?

10. Вектордың координаталарын қалай табады?

11. Базистiк векторлардың координаталары деген не?

12. Екi вектордың коллинеар болу шарты қандай?

Жаттығу есептерi

26. ABCD параллелограмм. Е мен F оның қарама қарсы BC мен AD қабырға-ларының ортасы, О-диагональдарының қиылысу нүктесi. векторларды базис үшін алып, векторларының координаталарын табыңдар.

27. ABCD ромбының қабырғаларын базис үшін алып, векторларынң Бұл базистегi координаталарын табыңдар.

28. АВС үшбұрышының О-ауырлық центрi. мен векторларын базис үшін қабылдап, векторларының координаталарын табыңдар.

29. ABCD трапеция. , Е мен F нүктелерi АВ мен DC-ның қақ орталары, АС мен DB-ның қиылысу нүктесi P. мен -ны базис үшін алып, векторларының координаталарын табыңдар.

30. Алғашқы 29-есепте мен -ны базис ретiнде алып, векторларының координаталарын табыңдар.

31. ABCDA₁B₁C₁D₁ параллелепипед. E,F,K нүктелер сәйкесiнше AA₁, AD, CC₁ қырларының орталары. векторларын базистiк векторлар ретiнде алып, векторлардың координаталарын табыңдар.

32. A,B,C,D үшбұрышты пирамиданың төбелерi, Е нүкте ВС қырының ортасы, F нүкте BCD жағының ауырлық центрi. базисiне қарағандағы векторларының координаталарын табыңдар.

33. ABCDA₁B₁C₁D₁ куб. О-төменгi, О₁-жоғарғы табандарының диагональда-рының қиылысу нүктелерi. Кубтың қыры а -ға тең. базисiндегi векторларының координаталарын табыңдар.

34. векторлары берiлген. Төмендегi векторлардың координаталарын табыңдар: 1) ; 2)

35. векторлары берiлген. Төмендегi векторлардың координаталарын табыңдар: 1) ; 2)

36. Кез келген бiр базисте векторлар берлiген. векторын және векторларының сызықтық комбинациясы ретiнде жазыңдар.

37. Кез келген бiр базисте төмендегi векторлар берiлсiн:

1) ; 2) ;

3) . векторын және векторларының сызықтық комбинациясы ретiнде жазыңдар.

38. векторын , , векторларына жiктеңдер:

1) ;

2) ;

39. Төмендегi векторлар сызықтық тәуелдi ме, жоқ па:

1) ;

Тәуелдi болған жағдайда векторын және векторлары арқылы өрнектеңдер.

40. базисте

берiлген векторлар-дың қайсысы , қайсысы , қайсысы векторға коллинеар?

41. Жоғарыдағы 40 есептегi векторлардың қайсысы мен , қайсысы мен , қайсысы мен векторлармен компланар болады?

42. мен қандай болғанда мен коллинеар болады:

және .

43. Мына векторлардың: және компланар екенiн дәлелдеңдер. Олар бағыттас па, жоқ бағыттас емес пе?

44. Төмендегi векторлардың сызықтық тәуелдiлiгiн өрнектеңдер:

;

45. Төмендегi векторлардың сызықтық тәуелдiлiгiн өрнектеңдер:

;

46. Төмендегi векторлардың компланар болатынын немесе болмайтынын анықтаңдар: 1) ;

2) ;

3) .

47. векторлары m₁, m₂, m₃ сандары қандай болса да, , , векторлары қандай болса да компланар болатынын дәлелдеңдер.

48. векторлары берiлген. векторлары тұйық төотбұрыш жасайтындай етiп, m₁, m₂, m₃, m₄ сандарын таңдап алыңдар.

49. базисте векторлар берiлген. векторлардың , , базистегi координаталарын табыңдар.

50. , , векторлар базис ретiнде алынғанда болса, векторлар базис ретiнде алынғанда , , векторлардың координаталары неге тең болады?

§3. Векторлардың скаляр көбейтiндiсi

Екi вектордың арасындағы оң бұрыш деп, оның бiрiн сағат тiлi қозғалы-сының бағытына керi бағытта бұрып, екiншiсiмен беттестiруге немесе парел-лель етуге қажеттi бұрыштың шамасын айтады.

векторының U осiндегi проекциясы Пр _u деп, А мен В нүктелерiнiң Бұл осьтегi проекциялары А₁ мен В₁ бағытталған кесiндiнiң шамасын айтады. Вектордың осьтегi проекциясы өзiнiң модулiмен былайша байланысады: Пр _u (1)

Мұндағы ось пен векторлар арасындағы бұрыш.

Вектордың осьтегi проекциясының қасиеттерi:

(2)

-ның векторының векторына түскен проекциясы: (3)

формуламен анықталады.

Екi және векторлардың скаляр көбейтiндiсi деп, ол векторлардың ұзындықтары мен арасындағы бұрыштың косинусының көбейтiндiсiне тең болатын санды айтады: (4)