Равенство (1) называется разложением вектора по векторам [1]. Нас интересует такие системы векторов, по которым разложение любого вектора пространства возможно и притом единственным образом. Такой системой векторов в пространстве служит любая тройка некомпланарных векторов , которые называются базисом пространства, а коэффициенты разложения вектора - координатами вектора в этом базисе.
Покажем, что векторы образуют базис. Смешанное произведение некомпланарных векторов отлично от нуля [1].
Итак, векторы образуют базис.
Найдем координаты вектора в этом базисе. Равенство (1) равносильно системе линейных уравнений с тремя неизвестными :
Решим ее по правилу Крамера [10]:
, , .
Вычислим определитель системы линейных уравнений, который составлен из коэффициентов при неизвестных:
Вычислим вспомогательные определители , которые получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов:
,
|
|
,
,
Решение системы имеет вид:
; ; .
Итак, вектор в базисе представим в виде:
, т.е. имеем координаты (2;-3;1).