По принадлежности точек 1, 2 и 3 к соответствующим ребрам определяем их

Сечение многогранников плоскостями общего положения

ЭПЮР 2

ЗАДАЧА 1. Построить сечение призмы плоскостью общего положения и построить истинный вид сечения.

1). Для преобразования секущий пл. Г общего положения в плоскость прое-цирующую введем вместо пл. П₂ новую пл. П₄ так, чтобы она была перпендику-лярна плоскости П₁ и проходила перпендикулярно горизонтали h секущей пл. Г.

П₂ ® П₄, П₄ ^ П₁, П₄ ^ h

На чертеже новую ось Х_1,4 проводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. Х_1,4 ^ h₁.

2). В плоскости П₄ строим новую фронтальную проекцию призмы АВСА'В'С'.

Для этого проводим из А₁, В₁, С₁, А'₁, В'₁, С'₁ линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_1,4, и на их продолжении от новой оси Х_1,4 откладываем координаты Z точек А, В, С, А', В', С'.

Z_А = Z_В = Z_С = 0;

Z_А' = А₂А'₂; Z_В' = В₂В'₂; Z_С' = C₂C'₂.

Соединив полученные точки, получим новую фронтальную проекцию призмы.

3). В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ секущая плоскость Г по построению фронтально - проецирующая, а значит, ее фронтальная проекция Г₄ – прямая.

Для построения прямой достаточно иметь две точки, например М и N. Пусть точка М – точка пересечения фронтали и горизонтали плоскости Г.

М₁ ≡ М₂. Точку N возьмем произвольно на фронтали f. N₂ Î f₂.

По принадлежности к f построим горизонтальную N₁ проекцию точки N. N₁ Î f₁.

Из М₁ и N₁ проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_1,4 и

на их продолжении от новой оси откладываем отрезки, равные координатам Z

точек М и N. Z_М = 0, Z_N = N₁N₂. Получаем точки М₄ и N₄.

Прямая М₄N₄ – новая фронтальная проекция секущей плоскости Г.

4). На пересечении фронтальной проекции М₄N₄ секущей плоскости Г и ребер

призмы определяем вершины сечения 1₄, 2₄, 3₄.

1₄ = М₄N₄∩В₄В'₄; 2₄ = М₄N₄∩А₄А'₄; 3₄ = М₄N₄∩С₄С'₄.

По принадлежности точек 1, 2 и 3 к соответствующим ребрам определяем их

горизонтальные 1₁, 2₁, 3₁ и фронтальные 1₂, 2₂, 3₂ проекции.

1₁ ≡ В₁; 2₁ ≡ А₁; 3₁ ≡ С₁.

Для получения фронтальных проекций на ребрах призмы от оси ОХ вверх откладываем расстояния: В₂1₂ = В₄1₄; А₂2₂ = А₄2₄; С₂3₂ = С₄3₄.

5). Соединяем полученные точки и получаем проекции сечения призмы плоскостью общего положения.

6). Для определения натуральной величины сечения введем еще одну вспомогатель-

ную плоскость П₅. П₁ → П₅; П₅ ^ П₄; П₅ || Г.

На чертеже ось Х_4,5 параллельна следу М₄N₄ секущей плоскости Г.

7). В новую плоскость П₅ проецируем точки 1, 2 и 3. Для этого из 1₄, 2₄, 3₄ про-водим линии проекционных связей, перпендикулярные к оси Х_4,5 и на их продолжении откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х_1,4 до заме-няемых точек 1₁, 2₁, 3₁ (В₄1₁, А₄2₁, С₄3₁). Получаем точки 1₅, 2₅, 3₅.

Δ1₅2₅3₅ – натуральная величина сечения.

Задача 2. Построить сечение пирамиды SABС плоскостью общего положения

Т (h∩f) и найти его натуральную величину (рис.162).

Задача решается в следующей последовательности:

1). Для преобразования секущий пл. Т общего положения в плоскость прое-цирующую введем вместо пл. П₂ новую пл. П₄ так, чтобы она была перпен-дикулярна оставшейся плоскости П₁ и проходила перпендикулярно горизонтали h секущей пл. Т. П₂ ® П₄, П₄ ^ П₁, П₄ ^ h.

На чертеже новую ось Х_1,4 проводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. Х_1,4 ^ h₁.

2). Теперь в плоскости П₄ строим новую проекцию S₄A₄B₄C₄ пирамиды SABC. Для этого из горизонтальных проекций A₁, B₁, C₁, S₁ точек A, B, C, S проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_1,4 и на их продолжении от новой оси откладываем координаты Z этих точек. Z_А = Z_В = Z_С = 0; Z_S = O₂S₂.

3). Затем строим новую проекцию секущей плоскости Т. Так как в новой системе плоскостей проекции П₁/П₄ секущая плоскость стала фронтально - проецирующей, то ее фронтальная проекция Т₄ – прямая. Построить ее можно по двум точкам, положим, по точке М – точке пересечения фронтали и горизонтали и точке N, произвольно взятой на фронтали N₂ Î f₂.

По принадлежности к фронтали f построим горизонтальную N₁ проекцию т.N.

N₁ Î f₁. Из М₁ и N₁ проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_1,4 и на их продолжении от новой оси откладываем отрезки, равные коорди-натам Z точек М и N. Z_М = М_ХМ₂, Z_N = N_ХN₂. Получаем точки М₄ и N₄.

Прямая М₄N₄ – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.

4). Вершины сечения лежат на пересечении фронтальной проекции M₄N₄ плоскости Т с новыми фронтальными проекциями ребер.

1₄ = В₄S₄ ∩ M₄N₄; 2₄ = C₄S₄ ∩ M₄N₄; 3₄ = A₄S₄ ∩ M₄N₄.

Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 получим по принадлежности их к соответствующим ребрам. 1₁ Î В₁S₁, 2₁ Î C₁S₁, 3₁ Î A₁S₁.

Фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂ точек 1, 2, 3 также строим по принадлежности их к соответствующим ребрам. 1₂ Î В₂S₂, 2₂ Î C₂S₂, 3₂ Î A₂S₂.

Соединяем точки 1₁, 2₁, 3₁ – получаем горизонтальную проекцию сечения.

Соединяем точки 1₂, 2₂, 3₂ – получаем фронтальную проекцию сечения.

Сечение построено.

5). Далее, для определения натуральной величины сечения необходимо секущую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Для этого вместо плоскости П₁ вводим новую плоскость П₅, перпендикулярно оставшейся плоскости П₄ так, чтобы она прошла параллельно секущей плоскости.

П₁ ® П₅, П₅ ^ П₄, П₅ çç Т.

На чертеже новая ось Х_4,5 пройдет параллельно следу M₄N₄ секущей плоскости Т.

6). В новую плоскость П₅ проецируем вершины сечения, точки 1, 2, 3. Для этого из точек 1₄, 2₄, 3₄ проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_4,5 и на их продолжении от новой оси Х_4,5 откладываем отрезки, равные расстояниям

от оси Х_1,4 до заменяемых точек 1₁, 2₁, 3₁ (координаты Y точек 1,2,3). Получаем точки 1₅, 2₅, 3₅; соединив эти точки получаем натуральную величину треугольника

∆ 1,2,3 – сечение пирамиды SABC плоскостью Т.