По аналитической геометрии

Семестровая работа

Задача № 1. А₁(х₁, у₁, z₁), А₂(х₂, у₂, z₂), А₃(х₃, у₃, z₃), А₄(х₄, у₄, z₄) - вершины тетраэдра. Средствами векторной алгебры найти:

а) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

б) площадь грани А₁А₂А₃;

в) проекцию вектора на вектор ;

г) объем тетраэдра.

№ варианта	А1(х1, у1, z1)	А2(х2, у2, z2)	А3(х3, у3, z3)	А4(х4, у4, z4)
	(4,2,5)	(0,7,1)	(0,2,7)	(1,5,0)
	(4,4,10)	(7,10,2)	(2,8,4)	(9,6,9)
	(4,6,5)	(6,9,4)	(2,10,10)	(7,5,9)
	(3,5,4)	(8,7,4)	(5,10,4)	(4,7,8)
	(10,6,6)	(-2,8,2)	(6,8,9)	(7,10,3)
	(1,8,2)	(5,2,6)	(5,7,4)	(4,10,9)
	(6,6,5)	(4,9,5)	(4,6,11)	(6,9,3)
	(7,2,2)	(5,7,7)	(5,3,1)	(2,3,7)
	(8,6,4)	(10,5,5)	(5,6,8)	(8,10,7)
	(7,7,3)	(6,5,8)	(3,5,8)	(8,4,1)
	(1,-3,1)	(-3,2,-3)	(-3,-3,8)	(-2,0,-4)
	(1,-1,6)	(4,5,-2)	(-1,3,0)	(6,1,5)
	(1,1,1)	(3,4,0)	(-1,5,6)	(4,0,5)
	(0,0,0)	(5,2,0)	(2,5,0)	(1,2,4)
	(7,1,2)	(-5,3,-2)	(3,3,5)	(4,5,-1)
	(-2,3,-2)	(3,-3,2)	(2,2,0)	(1,5,5)
	(3,1,1)	(1,4,1)	(1,1,7)	(3,4,-1)
	(4,-3,2)	(2,2,3)	(2,-2,-3)	(-1,-2,3)
	(5,1,0)	(7,0,1)	(2,1,4)	(5,5,3)
	(4,2,-1)	(3,0,4)	(0,0,4)	(5,-1,-3)
	(2,-1,1)	(5,5,4)	(3,2,-1)	(4,1,3)
	(2,3,1)	(4,1,-2)	(6,3,7)	(-5,-4,8)
	(2,1,-1)	(3,0,1)	(2,-1,3)	(0,8,0)
	(-3,-2,0)	(3,-3,1)	(5,0,2)	(0,0,0)
	(3,1,4)	(-1,6,1)	(-1,1,6)	(0,4,-1)
	(3,3,9)	(6,9,1)	(1,7,3)	(8,5,8)
	(3,5,4)	(5,8,3)	(1,9,9)	(6,4,8)
	(2,4,3)	(7,6,3)	(4,9,3)	(3,6,7)
	(9,5,5)	(-3,7,1)	(5,7,3)	(6,9,2)
	(0,7,1)	(4,1,5)	(4,6,3)	(3,9,8)

Задача № 2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(х ₁, у ₁), В(х ₂, у ₂), С(х ₃, у ₃). Найти:

а) длину стороны ВС;

б) уравнение стороны ВС;

в) уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС;

г) длину высоты, проведенной из вершины А;

д) площадь треугольника АВС;

е) тангенс внутреннего угла В;

ж) уравнение медианы, проведенной из вершины А.

№ варианта	А(х 1, у 1)	В(х 2, у 2)	С(х 3, у 3)
	(1,4)	(-15,-8)	(-8,16)
	(2,1)	(-14,-11)	(-7,13)
	(3,3)	(-13,-9)	(-6,15)
	(4,-1)	(-12,-13)	(-5,11)
	(5,0)	(-11,-12)	(-4,12)
	(3,1)	(-13,-11)	(-6,13)
	(4,2)	(-12,-10)	(-5,14)
	(2,5)	(-14,-7)	(-7,17)
	(0,7)	(-16,-5)	(-9,19)
	(8,2)	(-8,-10)	(-1,14)
	(2,4)	(-14,-8)	(-7,16)
	(-9,20)	(15,13)	(-3,37)
	(4,3)	(-12,-9)	(-5,15)
	(5,-1)	(-11,-13)	(-4,11)
	(6,0)	(-10,-12)	(-3,12)
	(4,1)	(-12,-11)	(-5,13)
	(5,2)	(-11,-10)	(-4,14)
	(3,5)	(-13,-7)	(-6,17)
	(1,7)	(-15,-5)	(-8,19)
	(9,2)	(-7,-10)	(0,14)
	(1,5)	(-15,-7)	(-8,17)
	(2,2)	(-14,-10)	(-7,14)
	(3,4)	(-13,-8)	(-6,16)
	(4,0)	(-12,-12)	(-5,12)
	(5,1)	(-11,-11)	(-4,13)
	(3,2)	(-13,-10)	(-6,14)
	(-6,-5)	(18,-12)	(0,12)
	(2,6)	(-14,-6)	(-7,18)
	(0,8)	(-16,-4)	(-9,20)
	(8,3)	(-8,-9)	(-1,15)

Задача № 3. Точки А₁, А₂, А₃ и А₄ - вершины тетраэдра (координаты точек даны в условии задачи № 1). Требуется:

а) составить уравнение грани А₁А₂А₃;

б) составить каноническое уравнение высоты тетраэдра, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

в) найти длину высоты, опущенной из из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

г) составить параметрические уравнения ребра А₃А₄;

д) найти угол между гранью А₁А₂А₄ и гранью А₁А₂А₃;

е) найти угол между ребром А₃А₄ и гранью А₁А₂А₄.

№ варианта	А1(х1, у1, z1)	А2(х2, у2, z2)	А3(х3, у3, z3)	А4(х4, у4, z4)
	(4,2,5)	(0,7,1)	(0,2,7)	(1,5,0)
	(4,4,10)	(7,10,2)	(2,8,4)	(9,6,9)
	(4,6,5)	(6,9,4)	(2,10,10)	(7,5,9)
	(3,5,4)	(8,7,4)	(5,10,4)	(4,7,8)
	(10,6,6)	(-2,8,2)	(6,8,9)	(7,10,3)
	(1,8,2)	(5,2,6)	(5,7,4)	(4,10,9)
	(6,6,5)	(4,9,5)	(4,6,11)	(6,9,3)
	(7,2,2)	(5,7,7)	(5,3,1)	(2,3,7)
	(8,6,4)	(10,5,5)	(5,6,8)	(8,10,7)
	(7,7,3)	(6,5,8)	(3,5,8)	(8,4,1)
	(1,-3,1)	(-3,2,-3)	(-3,-3,8)	(-2,0,-4)
	(1,-1,6)	(4,5,-2)	(-1,3,0)	(6,1,5)
	(1,1,1)	(3,4,0)	(-1,5,6)	(4,0,5)
	(0,0,0)	(5,2,0)	(2,5,0)	(1,2,4)
	(7,1,2)	(-5,3,-2)	(3,3,5)	(4,5,-1)
	(-2,3,-2)	(3,-3,2)	(2,2,0)	(1,5,5)
	(3,1,1)	(1,4,1)	(1,1,7)	(3,4,-1)
	(4,-3,2)	(2,2,3)	(2,-2,-3)	(-1,-2,3)
	(5,1,0)	(7,0,1)	(2,1,4)	(5,5,3)
	(4,2,-1)	(3,0,4)	(0,0,4)	(5,-1,-3)
	(2,-1,1)	(5,5,4)	(3,2,-1)	(4,1,3)
	(2,3,1)	(4,1,-2)	(6,3,7)	(-5,-4,8)
	(2,1,-1)	(3,0,1)	(2,-1,3)	(0,8,0)
	(-3,-2,0)	(3,-3,1)	(5,0,2)	(0,0,0)
	(3,1,4)	(-1,6,1)	(-1,1,6)	(0,4,-1)
	(3,3,9)	(6,9,1)	(1,7,3)	(8,5,8)
	(3,5,4)	(5,8,3)	(1,9,9)	(6,4,8)
	(2,4,3)	(7,6,3)	(4,9,3)	(3,6,7)
	(9,5,5)	(-3,7,1)	(5,7,3)	(6,9,2)
	(0,7,1)	(4,1,5)	(4,6,3)	(3,9,8)

Задача № 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую

параллельно прямой

№ вар.	x 1	y 1	z 1	x 2	y 2	z 2	m 1	p 1	q 1	m 2	p 2	q 2
					-1							-4
			-1					-1
				-1					-2		-1
											-2
	-1					-1	-1				-2
		-1	-1	-1			-2				-2
		-1		-1			-1				-1
				-2				-1			-1	-2
			-1				-1					-1
		-1							-1		-3	-2
	-1								-1		-2
				-2				-2			-1
				-2				-2			-1
				-3					-1
		-1		-2			-2				-1	-1
				-1
	-1						-2					-2
	-1				-1							-1
				-1				-1			-1
		-1									-4	-3
				-1				-1
		-1			-1						-1
		-1					-1			-1		-1
	-1										-6	-1
				-1								-4
	-1			-3							-5
	-2										-1
							-1				-5
			-4			-3		-1
		-3			-2				-2			-1

Задача № 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

№ варианта	Уравнение прямой	Уравнение плоскости
		x + 2 y + 3 z - 14 = 0
		x + 2 y - 5 z + 20 = 0
		x - 3 y + 7 z - 24 = 0
		2 x - y + 4 z = 0
		3 x + y - 5 z - 12 = 0
		x + 3 y - 5 z + 9 = 0
		x - 2 y +- 5 z + 17 = 0
		x - 2 y + 4 z - 19 = 0
		2 x - y + 3 z + 23 = 0
		2 x - 3 y - 5 z - 7 = 0
		4 x + 2 y - z - 11 = 0
		3 x - 2 y - 4 z - 8 = 0
		x + 2 y - z - 2 = 0
		5 x - y + 4 z + 3 = 0
		x + 3 y + 5 z - 42 = 0
		7 x + y + 4 z - 47 = 0
		2 x + 3 y + 7 z - 52 = 0
		3 x + 4 y + 7 z - 16 = 0
		2 x - 5 y + 4 z + 24 = 0
		x - 2 y - 3 z + 18 = 0
		x + 7 y + 3 z + 11 = 0
		3 x + 7 y - 5 z - 11 = 0
		4 x + y - 6 z - 5 = 0
		5 x + 9 y + 4 z - 25 = 0
		x + 4 y + 13 z - 23 = 0
		3 x -24 y + 5 z -3 = 0
		3 x - y + 4 z = 0
		x + 2 y - 5 z + 16 = 0
		3 x - 7 y - 2 z + 7 = 0
		5 x + 7 y + 9 z - 32 = 0

Задача №6. Написать канонические уравнения прямой и построить эту прямую.

№ варианта	Общее уравнение прямой
	2x+y+z-2=0, 2x-y-3z+6=0
	x-2y+z-4=0, 2x+2y-z-8=0
	x-3y+2z+2=0, x+3y+z+14=0
	x+y+z-2=0, x-y-2z+2=0
	2x+3y+z+6=0, x-3y-2z+3=0
	3x+y-z-6=0, 3x-y+2z=0
	x+5y+2z+11=0, x-y-z-1=0
	x-y-z-2=0, x-2y+z+4=0
	3x+4y-2z+1=0, 2x-4y+3z+4=0
	5x+y-3z+4=0, x-y+2z+2=0
	4x+y-3z+2=0, 2x-y+z-8=0
	3x+3y-2z-1=0, 2x-3y+z+6=0
	6x-7y-4z-2=0, x+7y-z-5=0
	8x-y-3z-1=0, x+y+z+10=0
	6x-5y-4z+8=0, 6x+5y+3z+4=0
	x+5y-z-5=0, 2x-5y+2z+5=0
	2x-3y+z+6=0, x-3y-2z+3=0
	5x+y+2z+4=0, x-y-3z+2=0
	4x+y+z+2=0, 2x-y-3z-8=0
	2x+y-3z-2=0, 2x-y+z+6=0
	x+y-2z-2=0, x-y+z+2=0
	x+5y-z+11=0, x-y+2z-1=0
	x-y+z-2=0, x-2y-z+4=0
	6x-7y-z-2=0, x+7y-4z-5=0
	x+5y+2z-5=0, 2x-5y-z+5=0
	x-3y+z+-2=0, x+3y+2z+14=0
	2x+3y-2z+6=0, x-3y+z+3=0
	3x+4y+3z+1=0, 2x-4y-2z+4=0
	3x+3y+z-1=0, 2x-3y-2z+6=0
	6x-5y+3z+8=0, 6x+5y-4z+4=0

Задача №7. Найти точку N симметричную точке M относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-30).

№ варианта	Координаты т.M	Уравнение примой (варианты 1-15) и уравнение плоскости (варианты 16-30)
	(0;-3;-2)
	(2;-1;1)
	(1;1;1)
	(1;2;3)
	(1;0;-1)
	(2;1;0)
	(0;-3;-2)
	(-1;0;-1)
	(0;2;1)
	(3;-3;-1)
	(3;3;3)
	(-1;2;0)
	(2;-2;-3)
	(-1;0;1)
	(0;-3;-2)
	(1;0;1)	x + 2 y + 3 z - 14 = 0
	(-1;0;1)	x + 2 y - 5 z + 20 = 0
	(0;2;1)	x - 3 y + 7 z - 24 = 0
	(2;1;0)	2 x - y + 4 z = 0
	(-1;2;0)	3 x + y - 5 z - 12 = 0
	(2;-1;1)	x + 3 y - 5 z + 9 = 0
	(1;1;1)	x - 2 y +- 5 z + 17 = 0
	(1;2;3)	x - 2 y + 4 z - 19 = 0
	(0;-3;-2)	2 x - y + 3 z + 23 = 0
	(1;0;-1)	2 x - 3 y - 5 z - 7 = 0
	(3;-3;-1)	4 x + 2 y - z - 11 = 0
	(-2;-3;0)	3 x - 2 y - 4 z - 8 = 0
	(2;-2;-3)	x + 2 y - z - 2 = 0
	(-1;0;1)	5 x - y + 4 z + 3 = 0
	(-2;0;3)	x + 3 y + 5 z - 42 = 0