Матрица линейного оператора

Выберем в пространстве L базис e₁, e₂ …, e_n. x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n - разложение произвольного эл-та x по данному базису. y=Ấ(x). В силу линейности оператора Ấ получаем y=Ấ(x) =x₁Ấ(e₁)+…+x_nẤ(e_n).

Поскольку Ấ(e_i) также эл. из L, то его можно разложить по этому базису. Ấ(e_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_nie_n (i=1,2,3…n). Тогда Ấ(x)=x₁(a₁₁e₁+a₂₁e₂+…a_n1e_n)+ x₂(a₁₂e₁+a₂₂e₂+…+a_n2e_n)+…+x_n(a_1ne₁+a_2ne₂+…+a_mne_n)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+ +…+a_1nx_n)e₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n)e₂+…+(a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n)e_n. С другой стороны эл. y=Ấ(x) можно разложить в данном базисе

y=Ấ(x)=y₁e₁+y₂e₂+…+y_ne_n. Ввиду единственности разложения вектора по базису:

y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n

y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n

..................

y_n=a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n

y=x₁A₁+…+x_nA_n. A_i=Ấ(e_i) - столбец. A_e=(A₁… A_n)

Матрица A_e=(a_{ij e} ) (i,j = 1,2,..,n) называется матрицей оператора Ấ в базисе e₁, e₂,… e_n. Таким образом каждому линейному оператору соотв. матрица в данном базисе. Связь между эл. x и его образом y, равному Ấ(x), можно выразить в матричной форме уравнением: Y=AX. X=(x₁, x₂,…, x_n)^T

64. Линейное преобразование.

Линейное преобразование – это отображение линейного пространства У в пространство V с помощью операции А ставящая в соответствие каждому элементу из У элемент из V. Линейное отображение удовлетворяет двум условиям линейности. 1) А(У1+У2)=АУ1+АУ2 У- прообраз, V- образ 2) любому вектору У принад. У и любому V любому V: А(λУ)= λАУ. Из условия 1и 2 следует, что линейное отображение всякой лин. комбинации λ1У1+ λ2У2+….. будет являться линейным отображением.