Дайте определение подпространства линейного пространства и приведите пример. Как связаны размерности пространства и его подпространства? Ответ обоснуйте

Линейным подпространством пространства V называется произвольное его подмножество, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число. Для системы векторов а₁, а₂,…а_s€V множество всевозможных линейных комбинаций

а=к₁а₁+к₂а₂+…+к_sа_s является линейным подпространством и называется линейной оболочкой или подпространством, порожденным этой системой векторов.

Линейно независимая система векторов а₁, а₂,…,а_s€V называется базисом линейного пространства V, если линейная оболочка векторов системы совпадает с V.

В этом случае говорят, что размерность пространства V равна s и записывают так: dimV=s. В частности, dim Rⁿ=n. Размерность линейной оболочки системы векторов а₁, ₂а, …,а_s €V называется рангом этой системы.

Дайте определение линейного пространства. Докажите, что симметрические матрицы порядка 2 образуют линейное пространство. Найдите его размерность.

Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число:

а+b=b+a (коммутативности), (a+b)+c=a+(b+c) (aссoциативности), сущ-ет нулевой вектор, такой, что если его прибавить к исходному вектору, то получится исходный вектор a+0=a, наличие противоположного вектора в сумме с исходным дающий ноль-вектор а+(-а)=0, k(a+b)=ka+kb(дистрибутивность), (k+l)a=ka+la, k(la)=(kl)a, 1a=a и подчиняющиеся 8 аксиомам. Примерами лин постранств могут служить арифметическое n-мерное векторное пространство Rⁿ, пространство решений произвольной однородной СЛАУ, множество многочленов степени не превышающей n. Например, линейным является пространство подмножества векторов х=(х₁,х₂,х₃,х₄) в R⁴, выделенное условием V={x€R⁴|x₁+x₂+x₃+x₄0}.

38. Какие векторы называются ортогональными? Докажите, что ортогональное дополнение к ненулевому вектору v в R⁵ является линейным подпространством размерности 4.

Два вектора aˉ и bˉ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. аˉ^bˉ, если аˉ×bˉ=0.