Определение линейного (векторного) пространства, действительного и комплексного. Простейшие свойства. Примеры линейных пространств

Опр. Непустое множество V элементов произвольной природы называется действительным линейным пространством, если:

а ) Любым двум элементам x и y ∈ V поставлен в соответствие элемент z ∈ V, который называется суммой элементов x и y и обозначается z = x+y.

б) Любому элементу x ∈ V и любому числу λ ∈ ℝ (ε) поставлен в соответствие элемент λ х ∈ V, который называется произведением элемента x на число λ.

При этом выполняются следующие аксиомы:

1^о. ∀x,y ∈ V: x+y=y+x

2^о. ∀x,y,z ∈ V: (x+y)+z=x+(y+z)

3^о. ∃ элемент θ ∈ V: ∀x ∈ V: x+θ=x

4^о. ∀x ∈ V ∃ x’ ∈ V: x+x’= θ (x’= -x)

5^о. (α+ β)x= αx+ βx

6^о. (α β)x= α (βx)

7^о. 1*x=x

Простейшие свойства линейного пространства V:

1. Единственность нулевого элемента

Док-во. Допустим ∃ θ₁ и θ₂ ∈ V- нулевые элементы, тогда

θ₁=θ₁+θ₂=θ₂+θ₁=θ₂

2. Единственность противоположного элемента

Док-во. Пусть x ∈ V и ∃ x’ и x’’ ∈ V: x+x’= θ и х+x’’= θ

x’= x’+θ= x’+(x+x’’)=(x’+x)+x’’=(x+x’)+x’’=θ+x’’=x’’+θ=x’’

3. ∀x ∈ V: 0*x= θ

Док-во. 0*x=0*x+θ=0*x+(x+x’)=(0*x+x)+x’=(0*x+1*x)+x’=(0+1)*x+x’=1*x+x’=x+x’=θ

4. ∀x ∈ V: (-x)=(-1)*x

Док-во. x+(-1)*x=1*x+(-1)*x=(1+(-1))*x=0*x=θ, т.к. ∃!θ, что (-x)=(-1)*x

5. ∀ α ∈ ℝ: α*θ=θ

Док-во. α*θ=α*(0*θ)=(α*0)*θ=0*θ=θ

6. ∀ α ∈ ℝ: α*(-x)=(-α)*x=-(α*x)

Док-во. α*(-x)=α*((-1)*x)= (α*(-1))*x=(-α)*x=-(α*x)

7. α*x= θ ⟹ либо α=0, либо x=θ;

Док-во. Если α=0, то получаем 3^о

Если x= θ, то получаем 5^о