Изучение нового материала. Актуализация опорных знаний

Актуализация опорных знаний

Фронтальная беседа

1. Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Найдите по рис. 1 sinα, cosα, tgα, cosβ, sinβ, tgβ.

3. Как связаны sinα и cosα, если α — острый угол прямоугольного треугольника?

4. Упростите выражение:

а) 1+ sin²α+ cos²α; б) 2cos²α + sin²α −1.

5. Какой зависимостью связаны sinα, cosα, tgα?

6. Найдите tg a, если:

7. Укажите значение выражений:

а) sin30°, cos30°, tg30°; б) sin45°, cos45°, tg45°;

в) sin60°, cos60°, tg60°.

Изучение нового материала

Определение синуса, косинуса и тангенса углов от 0 ° до 180 °

Построим окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 2). Такая окружность называется единичной. Построим острый угол α, который образует радиус OA этой окружности с положительным направлением оси Ox. Пусть точка A имеет координаты (x; y). Тогда для прямоугольного треугольника AOB имеем:

Таким образом: синусом угла α является ордината точки A

единичной окружности, причем радиус OA образует с положительным направлением оси Ox угол α. Косинусом угла α является абсцисса точки A единичной окружности, причем радиус OA образует с положительным направлением оси Ox угол α.

Тангенсом угла α является отношение ординаты точки A к абсциссе этой точки, причем радиус OA образует с положительным направлением оси Ox угол α.

Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса тупых углов

Пользуясь представленными определениями, дадим определение

для любого угла α, 0° ≤α≤180°. Тогда sin0° = 0, cos0° = 1,

tg0° = 0; sin180° = 0, cos180° = −1, tg180° = 0.

Если угол α — тупой (0° < α < 90°), то ордината точки A (рис. 3) положительная (т. е. sin α > 0), абсцисса — отрицательная (т. е. cos α < 0), и отношение ординаты к абсциссе — отрицательное (т. е. tg α < 0).

Следовательно, косинус, тангенс тупого угла отрицательные.

Если α — тупой кут (рис. 4), то cos α = OC = − OD = −cos(180° − α),

sin α = AC = AD = sin(180° − α), тогда

1

Итак, чтобы найти синус тупого угла, достаточно найти синус смежного угла; чтобы найти косинус, тангенс тупого угла, надо найти число, противоположное косинусу, тангенсу смежного угла.

Синус 0° равен 0, синус 180° равен 0, синус 90° равен 1; а косинус 0° равен 1, косинус 180° равен –1, косинус 90° равен 0; тогда тангенс 0° и 180° равны 0, а тангенс 90° не существует.