Свойства неопределенного интеграла

1. g Пусть функция , является интегрируемой на интервале и a – некоторая константа, отличная от нуля. Тогда постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, (7.1)
4 Обозначим через – одну из первообразных функции на интервале . Тогда и

, (7.2)
где произвольная константа.

Очевидно, что функция является интегрируемой на интервале , и в качестве одной из ее первообразных можно взять функцию . Действительно,

.

Следовательно,
, (7.3)
где произвольная константа. Сравнивая равенства (7.2) и (7.3), мы приходим к выводу, о равенстве интегралов:

, . 3

2. g Пусть функции интегрируемы на интервале . Тогда на интервале интеграл от суммы данных функций равен сумме интегралов:

(7.4)

4 Обозначим через – произвольную первообразную функции , а через – произвольную первообразную функции на интервале . Тогда и . Т.е.

, (7.4)
где Очевидно, что функия является первообразной суммы . Действительно,

. Следовательно,

(7.5)
Сравнивая равенства (7.4) и (7.5), мы убеждаемся в том, что

. 3