Замена переменной под знаком неопределенного интеграла

1. Упрощающие постановки. Выбирая в структуре подынтегральной функции некоторое выражение и обозначая его новой переменной, иногда удается существенно упростить интеграл (и даже свести его к табличному).

Пример 7.5. Найти неопределенный интеграл

Произведем замену переменной . Тогда

.

Дальнейшие упрощения, связанные с раскрытием скобок и приведением подобных членов, предоставляем читателям.

Задача 7.6. Найти интеграл .

Решение. Произведем замену . При этом , :

.

2. Тригонометрические подстановки. В интегралах вида
от квадратного корня можно избавиться с помощью замены , соответственно (через R обозначена рациональная функция).

Пример 7.7. Найти интеграл .

В данном случае а ² = 4 (а = 2) и, следовательно, мы производим замену :

.