Метод интегрирования по частям

g Докажем формулу интегрирования по частям:

(7.6)

4Воспользуемся формулой производной произведения двух функций (§5.4, стр. 63):

. (7.7)
Проинтегрируем обе части равенства (7.7):

, (7.8)
. (7.9)
Из равенств (7.8) и (7.9), следует, что . Перенося первый из интегралов в правую часть, мы получим нужную нам формулу . Константу С при этом можно опустить, так как в обеих частях полученного равенства находятся интегралы. 3

Пример 7.8. Найти интеграл .

Воспользуемся формулой (7.6) интегрирования по частям. Для этого обозначим x через u, а e ^{2 x} dx через dv:

Задача 7.9. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Обозначим ln x через u, а xdx через dv, и воспользуемся формулой (7.6):

.

§7.6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный
трехчлен в знаменателе

Пример 7.10. Найти неопределенный интеграл .

Выделим полный квадрат в знаменателе:

.