До сих пор мы рассматривали линейные регрессионные модели, в которых переменные имели первую степень (модели, линейные по переменным), а параметры выступали в виде коэффициентов при этих переменных (модели, линейные по параметрам). Однако соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки.
Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т. п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.
Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.
1-й подход основан на линеаризации модели и заключатся в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.
|
|
2-й подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.
Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.
Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели
,
то вводя новые переменные, , получим линейную модель , параметры которой находятся методом наименьших квадратов.
Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную {степенную) модель
,
экспоненциальную модель
и другие.
В ряде случаев путем подходящих преобразований модели удается привести к линейной форме. Так, мультипликативную и экспоненциальную модели можно привести к линейной логарифмированием обеих частей уравнения.
Тогда можно применять обычные методы исследования линейной регрессии. Однако следует подчеркнуть, что критерии значимости и интервальные оценки параметров, применяемые для нормальной линейной регрессии, требуют, чтобы вектор возмущений имел логарифмически нормальное распределение.
Заметим, что модель
нельзя привести к линейному виду. В этом случае используются специальные (итеративные) процедуры оценивания параметров.