Функции распределения времени пребывания

Как указывалось выше, для проточного реактора время пребы­вания в аппарате отдельных элементов потока является в общем случае непрерывной случайной величиной, т. е. имеет статисти­ческую природу. Непрерывная случайная величина может быть задана с помощью функций распределения случайной величины. Различают интегральную функцию распределения F(τ) и диффе­ренциальную функцию, или плотность распределения f(τ).

Интегральная функция распределения времени пребывания F(τ) – это объемная доля потока, выходящего из реактора, которая находи­лась в реакторе в течение времени, меньшего чем τ.

В терминах теории вероятности F(τ) – это вероятность того, что время пребывания потока, вошедшего при τ₀ = 0, не превысит некоторого значения τ_i:

F(τ_i) = Р ( τ ≤ τ_i )

Свойства интегральной функции распределения:

F (0) = 0;

F (∞) = 1

если τ₂ > τ₁, то F(τ₂) ≥ F ( τ₁ )

Если τ – непрерывная случайная величина, то F(τ) –непре­рывная функция, и тогда dF(τ) – это объемная доля выходного потока, время пребывания которой в аппарате находится между значениями τ и dτ.

Производная dF(τ)/dτ = f(τ) называется дифференциальной функцией распределения, или плотностью распределения случайной величины.

Дифференциальная функция распределения в данной задаче определена при τ > 0 и характеризуется следующими свойствами:

f (τ) ≥ 0

(12.1)

Величина f (τ)dτ имеет такой же физический смысл, что и dF(τ).

Например, если τ _i – какое-то конкретное значение времени пребывания в интервале от τ до τ + d τ, то

f(τ_i)dτ = [dF(τ_i)] = Р(τ ≤ τ_i ≤ τ + dτ) (12.2)

Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе находится в конечном интервале от τ₁ до τ₂

Вероятность того, что время пребывания фиксированной доли потока в реакторе больше любого заданного значения τ:

Среднее время пребывания фиксированной доли потока в ре­акторе равно математическому ожиданию непрерывной случайной величины, имеющей данную функцию распределения:

(12.3)

Экспериментальное изучение функций распределения

Экспериментально функция распределения времени пребыва­ния может быть найдена исследованием так называемых кривых отклика.

Итак, мы хотим знать, какое количество текущей жидкости бу­дет находиться в аппарате то или иное время. При этом отдель­ные частицы жидкости для наснеразличимы: мы не изучаем поле скоростей и не можем сказать, каким образом та или иная части­ца прошла от входа к выходу. Поэтому, обнаружив на выходе какую-либо частицу жидкости, нельзя сказать, вошла она в аппа­рат минуту назад или находилась в нем в течение часа.

Чтобы различить частицы, поступим так. Выделим из всей со­вокупности частиц те, которые вошли в аппарат в некоторый за­фиксированный момент. Момент этот примем за начало опыта. Если аппарат работает непрерывно в стационарном режиме то «судьба» выделенных частиц (например, распределение време­ни пребывания) не будет отличаться от «судьбы» любых других. Таким образом, выделенные частицы образуют представи­тельную выборку из генеральной совокупности частиц, дви­жущихся через аппарат. Для выделения интересующих нас частиц пометим жидкость, входящую в аппарат в момент, который примем за начало опыта (при τ = 0). Для этого во входящий поток быстро (теоретически мгновенно) добавляем порцию какой-либо примеси, называемой индикатором, или трассером. Схема установки изобра­жена на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Схема установки для измерения распределения времени пребыва ния:

1 - ввод индикатора; 2 - вход в аппарат; 3 - выход из аппарата; 4 – датчик концентрации индикатора; 5 -самописец.

Трассер должен быть легко количественно определим, должен отличаться по какому-либо свойству (окраске, электрической проводимости, оптической плотности, кислотности, радиоактив­ности и т. д.) от веществ основного потока.

Кроме того, его добавление не должно влиять на характер потока (в частности, его следует вводить ма­ло, чтобы существенно не изменять расход), а сам он должен дви­гаться вместе с потоком, ни с чем не реагируя и не сорбируясь. Так, к потоку воды можно добавить немного кислоты или краси­теля, к воздуху – немного СО₂ или Не. Начиная с момента τ = 0, на выходе из аппарата измеряют кон­центрацию индикатора с_и как функцию времени. Способ подачи трассера может быть различным: ступенча­тым (до момента времени τ₀ индикатор не вводили в поток, а с момента τ₀, его вводят с постоянным расходом), импульсным (мгно­венное введение порции индикатора) или периодическим (напри­мер, иметь синусоидальный характер). Для получения кривой от­клика на входной сигнал (т.е. выходной сигнал) измеряют в разные моменты времени концентрацию или количество индикатора в по­токе, выходящем из реактора.

Для определения интегральной функции распределения создают входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (рис. 12.3). Измеряя в этом случае концентрацию индикатора на выходе в момент времени τ _i, и отнеся ее к начальной концентрации определяют какая доля потока находилась в проточном аппарате в течение времени, меньшего τ _i.

Рис. 12.3. Входной сигнал ступенчатой (скачкообразной) формы (а)

и кривая отклика (выходной сигнал) на него (б).

Рис. 12.4. Входной сигнал импульсной формы (а)

и кривая отклика (выходной сигнал) отклика на него (б)

Такая относительная концентра­ция (безразмерная случайная величина)

изменяется от 0 до 1 и соответствует интегральной функции рас­пределения F(τ), т.е. функция Ĉ (τ) обладает теми же свойствами, что и функция F(τ).

Важно отметить, что время пребывания в реакторе индикатора такое же, как и частиц основного потока, помеченных индикато­ром. Так как величина Ĉ (τ) безразмерная, она одна и та же и для индикатора, и для помеченного этим индикатором потока.

Дифференциальная функция распределения f(τ) соответствует кривой отклика на сигнал импульсной формы (рис. 12.4). Пока­жем, что это действительно так.

Пусть в момент времени τ₀ на входе в проточный реактор импульсно введен индикатор в количестве n_и,0. В некоторый мо­мент времени τ _i, концентрация индикатора на выходе из аппарата составит c_и(τ _i), а произведение v c_и(τ _i), где v – объемный расход, будет равно расходу индикатора в выходном потоке. Если рассмот­реть два момента времени τ _i, и τ _i + d τ, отличающиеся между собой на бесконечно малую величину d τ, то произведение v c_и(τ _i) d τ покажет, какое количество индикатора покинет реактор за промежугок времени от τ _i до τ _i + d τ. Разделив это количество на n_и,0, получим долю от первоначального количества индикатора, находившегося в реакторе в течение времени τ _i от τ _i до τ _i + d τ. По опреде­лению такая доля равна dF(τ) или f (τ)dτ [уравнение (12.2)].

v c_и(τ _i) d τ = F( τ _i + d τ )- F( τ _i) = dF(τ) = f (τ)dτ

Следовательно,

(12.4)

Если v = const, а n_и,0 постоянна по своему смыслу при импульс­ном введении индикатора, функция c_и(τ) совпадает с функцией f (τ), с точностью до постоянного коэффициента. Это позволяет экспериментально получить дифференциальную функцию распределе­ния, измеряя во времени концентрацию индикатора.

Как и для интегральной функции распределения, по измене­нию концентрации индикатора c_и(τ) можно судить о времени пре­бывания в реакторе частиц потока, помеченных этим индикатором.

Рассмотрим теперь, как выглядят функции распределения для реакторов с идеальной гидродинамической обстановкой (реакто­ры идеального смешения и идеального вытеснения) и для реакто­ров, описываемых ячеечной и диффузионной моделями.