Ячеечная модель (каскад реакторов идеального смешения)

Определить вид функций распределения для каскада реакторов идеального смешения можно, воспользовавшись аналогией между функциями распределения и кривыми отклика. Кстати, таким же методом можно получить вид функции распределения времени пребывания для единичного реактора идеального смешения.

Функция F(τ) соответствует зависимости Ĉ(τ) = с_и(τ)/с_и,0 получаемой как выходной сигнал на ступенчатый ввод индикатора. Предположим, что в поток, входящий в первый реактор каскада, начиная с момента времени τ₀, вводится индикатор с постоянной концентрацией с_и,0. Условия в реакционной системе после ввода индикатора будут нестационарными. Для описания системы можно составить уравнение материального баланса по индикатору с учетом того, что он не расходуется на химическую реакцию. Для N-й секции каскада количество индикатора, входящего в эту секцию за время dτ, определяется как vc_и,N-1dτ = d(V_Nс_и) = V_Ndс_и, так как V_N = const.

Уравнение материального баланса будет иметь вид

(12.13)

Если объемы всех секций каскада одинаковы, то среднее время пребывания в каскаде из N секций

,

а соответственно для N-й секции каскада

(12.14)

С учетом формулы (12.14) уравнение (12.13) можно представить в виде

Решая это уравнение сначала для первой секции каскада при начальном условии c_и = 0, если τ = 0, а затем для каждой последуюшей секции, можно получить зависимость с_и(τ), а следователь­но, и вид интегральной функции распределения как ряд

(12.15)

где

На рис. 12.8 приведены интегральные функции распределения для каскада реакторов идеального смешения из N одинаковых секций (ячеечной модели проточного реактора с параметром N) для различных значений N.

Рис. 12.8. Интегральные функции рас­пределения времени пребывания

для ячеечной модели при различных зна­чениях N:

1 – N = 1; 2 – N = 2; 3 – N = 20; 4 – N = ∞

Дифференцированием функции F(τ) можно получить диффе­ренциальную функцию распределения (рис. 12.9)

(12.16)

Рис. 12.9. Дифференциальные функции распределения времени пребыва­ния

для ячеечной модели при различных значениях N:

1 – N = 1; 2 – N = 2; 3 – N = 6; 4 – N = ∞

При рассмотрении ячеечной модели было указано, что про­точные реакторы идеального смешения и идеального вытеснения могут быть описаны этой моделью. Действительно, при N = 1 уравнение (12.16) переходит в уравнение (12.11) для реактора идеального смешения, а при N → ∞ совпадает с функцией распределения реактора идеального вытес­нения.

Таким образом, если экспериментально найдена кривая откли­ка для реактора с реальным гидродинамическим режимом, то, со­поставив ее с расчетными кривыми для ячеечной модели, можно определить параметр модели N.

Следует иметь в виду, что при использовании ячеечной модели для расчетов реальных химических реакторов необходимо, чтобы определение параметра N по кривой отклика проводилось в аппа­рате, подобном по гидродинамическим условиям рассчитываемо­му реактору или непосредственно в изучаемом реакторе.

Диффузионная модель.

Вывод функций распределения времени пребывания для реакторов, описываемых однопараметрической диффузионной моделью, как и в случае ячеечной модели, также основан на расчете концентрации индикатора на выходе из реак­тора. Для этого необходимо решить дифференциальное уравнение диффузионной модели в нестационарном режиме без учета хими­ческой реакции:

(12.17)

Введя безразмерную концентрацию с = с_и/с_и,0; безразмерное время ; и безразмерную координату , и с учетом того, что , представим уравнение (12.17) в безразмерном виде

или

(12.18)

Окончательное решение уравнения (12.18) будет иметь вид

. (12.19)

Рис. 12.10. Дифференциальные функции распределения времени пребывания

для диффузионной модели при различных значе­ниях параметра Ре = uL/D_L.

1 – Рe = 0,1; 2 – Ре = 1; 3 – Ре = 10; 4 – Ре = 17,8; 5 – Ре = ∞

На рис. 12.10 приведены дифференциальные функции распреде­ления f(τ) для диффузионной модели при различных значениях критерия Пекле. Сравнивая рис. 12.9 и 12.10 можно отметить, что функция распределения для ячеечной модели при N = 1 совпадает с кривой распределения для диффузионной модели при Ре → 0, а при больших N – с кривыми, для которых Ре >> 1. Этот результат вполне естественен, так как и диффузионная и ячеечная модели являются лишь разными приближениями одного и того же реального про­цесса.

Если Ре = uL/D_L > 10, выполняется приближенное равенство

где L – длина; d – диаметр реактора.

Таким образом, между функциями распределения ячеечной и однопараметри-ческой диффузионной моделей имеется опреде­ленное соответствие.