Лекция 2. Распространение объемных и начальных возмущений в полуограниченной среде

Решение данной задачи может быть представлено в виде

(применить преобразование Лапласа и проинтегрировать от нуля до бесконечности)

Где функция G удовлетворяет следующим уравнениям

Действительно, применяя преобразование Лапласа, получим

Далее интегрируем от нуля до бесконечности по x, получаем

Применяя преобразование Лапласа по времени, получаем

Общее решение однородного уравнения дается следующей формулой

Частное решение будем искать с помощью метода вариации произвольных постоянных, полагая

Подставляя данное выражение в выражение для решения и полагая

получим

Решение полученной системы уравнений имеет вид

Подставляя полученные выражения в формулу для частного решения, получим

Тогда общее решение дается формулой

Подставляя полученные выражения в граничные условия, получаем систему линейных уравнений

Откуда находим