Пример 1. Доказать тождество
Доказательство. Преобразуем левую часть тождества:
По формулам
Поэтому
Итак, тождество доказано. При этом и т.е. и а, значит,
Кроме того, т.е. откуда или
Таким образом, приходим к выводу, что тождество выполняется при
Пример 2. Доказать тождество
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель выражения, содержащегося в левой части тождества:
Далее используя формулу получаем:
Доказанное тождество выполняется при т.е. при и (множество всех чисел вида содержится в множестве всех чисел вида ).
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
Пример 4. Вычислить
Решение. Пусть Тогда и Более того, так как то Для вычисления воспользуемся формулой Из нее следует, что Таким образом, необходимо сначала найти Так как и ясно, что то
Так как в интервале то Итак и так как а в этом интервале синус принимает только положительные значения, то Таким образом
Пример 5. Вычислить
Решение. Положим Тогда и Но Таким образом, Итак
Замечание. Ясно, что равенство ложно.
Действительно, по определению значения косинуса принадлежат отрезку Значение же этому отрезку не принадлежит.