Глава 1. Методы одномерной безусловной оптимизации

Основные понятия

Пусть на множестве X Ì E ₁, где E ₁ – множество всех действительных чисел, определена функция f (x). Требуется найти x ^* Î X, для которого выполнено условие

f (x ^*) = min f (x). (1.1.1)

x Î X

Задачу (1.1.1) называют задачей одномерной минимизации.

Отметим, что для определения максимума функции j (x) достаточно взять функцию f (x) = –j (x) и найти минимум функции f (x) на заданном множестве X. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только задача минимизации (1.1.1), что не умаляет их общности.

При решении задачи используется следующая терминология:

– f (x) – функция цели или целевая функция;

– " x Î E ₁ – решение задачи (1.1.1);

– X – множество допустимых решений задачи (1.1.1);

– x^* – оптимальное решение задачи (1.1.1).

Если X совпадает с E ₁, то задачу (1.1.1) называют задачей безусловной одномерной минимизации, так как на значения аргумента x не накладывается никаких условий и он может принимать значения на всей числовой оси.
В противном случае задача (1.1.1) называется задачей условной одномерной минимизации, потому что условие x Î X ограничивает выбор допустимых значений аргумента функции f (x). В дальнейшем предполагается, что X – открытое множество.

Определение 1.1.1. Локальный минимум

x * Î X – точка локального минимума функции f (x) на множестве X, если найдется такое число e > 0, при котором будет выполнено условие

f (x ^*) < f (x) " x:ï x – x ^*ï < e, x ¹ x ^*.

Определение 1.1.2. Многоэкстремальная функция

Функция f (x) называется многоэкстремальной[1] на множестве X, если она имеет более одного локального минимума на этом множестве. В противном случае функция f (x) называется одноэкстремальной на множестве X.

Для многоэкстремальной функции на множестве X целесообразно
ввести понятие глобального минимума.

Определение 1.1.3. Глобальный минимум

x * Î X – точка глобального минимума функции f (x) на множестве X, если выполнено условие

f (x ^*) < f (x) " x Î X, x ¹ x ^*.

Очевидно, что для одноэкстремальной функции точка ее локального минимума одновременно является и точкой ее глобального минимума. Для многоэкстремальной функции точка глобального минимума совпадает
с точкой (точками) локального минимума, в которой функция достигает наименьшего значения по сравнению с ее значениями в точках других локальных минимумов.

К одноэкстремальным функциям на интервале (a, b) относятся, в частности, унимодальные на этом интервале.