2015-04-01
2509
| Пусть x * Î (a, b) – точка минимума функции f (x). Функция f (x) называется унимодальной на интервале (a, b), если для любой пары точек x 1, x 2 (таких что x 1 < x 2) интервала (a, b), выполнены условия: f (x 1) < f (x 2), если x 1 > x * f (x 1) > f (x 2), если x 2 < x *. |
Существенно, что понятие унимодальной функции не требует ее дифференцируемости.
Точка глобального минимума функции f (x) на множестве X является оптимальным решением задачи (1.1.1). Однако практически все используемые методы одномерной оптимизации ориентированы на поиск только одного экстремума функции, в общем случае являющегося локальным, поскольку отыскание глобального экстремума для многоэкстремальных функций чрезвычайно затруднено и требует, как правило, просмотра всех ее локальных экстремумов. Поэтому в дальнейшем будем считать, что построение оптимального решения задачи (1.1.1) эквивалентно нахождению локального экстремума функции f (x) на множестве X.
Для решения задачи (1.1.1) необходимы условия, позволяющие идентифицировать оптимальное решение – локальный экстремум функции f (x). Такие условия называются условиями (признаками) оптимальности.
Сформулируем условия оптимальности для случая дифференциру-емой на множестве X функции f (x), которые являются необходимыми
и достаточными условиями наличия локального экстремума функции, дифференцируемой в некоторой окрестности точки x Î X.
Определение 1.1.5. Необходимые условия оптимальности
| Пусть точка x * Î X является точкой экстремума дифференцируемой на множестве X функции f (x), тогда производная функции в точке x * равна нулю. Точка x * Î X, в которой f¢ (x) = 0, называется также стационарной точкой функции f (x). |
Определение 1.1.6. Достаточные условия оптимальности
(по первой производной)
| Пусть точка x * Î X – стационарная точка функции f (x) по первой производной. Тогда x * Î X является точкой локального минимума функции f (x), если существует такое число e > 0, при котором выполнены условия f ¢(x) < 0 " x: x * – e < x < x *, f ¢(x) > 0 " x: x * > x < x * + e, т. е. при переходе через точку x * слева направо производная функции f (x) меняет знак с минуса на плюс. |
